Question

12．如圖，半徑為R的半球形玻璃體置于水平桌面上，半球的上表面水平，球面與桌面相切于A點(diǎn)．一細(xì)束單色光經(jīng)球心O從空氣中攝入玻璃體內(nèi)（入射面即紙面）
，入射角為45°，出射光線射在桌面上B點(diǎn)處．測得AB之間的距離為$\frac{R}{2}$．現(xiàn)將入射光束在紙面內(nèi)向左平移，求射入玻璃體的光線在球面上恰好發(fā)生全反射時(shí)，光束在上表面的入射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離．不考慮光線在玻璃體內(nèi)的多次反射．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求出光線從O點(diǎn)射入時(shí)的折射角的正弦，結(jié)合折射定律求出折射率，在玻璃體球面上光線恰好發(fā)生全反射時(shí)，作出光路圖，根據(jù)角度關(guān)系，運(yùn)用正弦定理求出光束在上表面的入射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離．

解答 解：當(dāng)光線經(jīng)球心O入射時(shí)，光路圖如右上圖所示．設(shè)玻璃的折射率為n，由折射定律有：
n=$\frac{sini}{sinr}$    ①
式中，入射角i=45°，γ為折射角．
△OAB為直角三角形，因此sinr=$\frac{AB}{\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}}$   ②
發(fā)生全反射時(shí)，臨界角C滿足：sinC=$\frac{1}{n}$    ③
在玻璃體球面上光線恰好發(fā)生全反射時(shí)，光路圖如右下圖所示．設(shè)此時(shí)光線入射點(diǎn)為E，折射光線射到玻璃體球面的D點(diǎn)．由題意有
∠EDO=C    ④
在∠EDO內(nèi)，根據(jù)正弦定理有$\frac{OD}{sin（90°-r）}=\frac{OE}{sinC}$   ⑤
聯(lián)立以上各式并利用題給條件得OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$．
答：光束在上表面的入射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}R$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵作出光路圖，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合折射定律和全反射的知識(shí)進(jìn)行求解．本題對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．