Question

2．如圖所示，在一平面內(nèi)有一半徑為R的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)、外存在大小不同、方向均存在紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓心O處有一粒子源，可以向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速度大小為v、質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子，現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立x坐標(biāo)軸，其中沿與x軸成α=60°角發(fā)射的粒子，恰好打到x軸上的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為x=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}$R（P點(diǎn)圖中未標(biāo)出）．已知，圓內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=$\frac{mv}{qR}$，圓外磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂（未知）．試求：
（1）帶電粒子在圓內(nèi)區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)半徑和圓外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂；
（2）有粒子可能出現(xiàn)的區(qū)域的面積；
（3）其他能夠經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的粒子，在O點(diǎn)出射時(shí)的速度方向（用與x軸正方向的夾角表示）．

Answer 1

分析 （1）由洛侖茲力提供向心力很容易求出粒子在圓內(nèi)的運(yùn)動(dòng)的半徑，再由幾何關(guān)系就能求出粒子離開(kāi)B₁磁場(chǎng)的方向，當(dāng)?shù)竭_(dá)P點(diǎn)時(shí)，再由幾何關(guān)系可以求出粒子在B₂中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再由洛侖茲力提供向心力就能求得B₂．
（2）畫(huà)出粒子的在圓內(nèi)和圓外的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到粒子運(yùn)動(dòng)到圓外的最遠(yuǎn)點(diǎn)N，求出ON的長(zhǎng)，由于粒子是朝各個(gè)方向射出的，則粒子能到達(dá)的面積是以O(shè)N為半徑的圓．
（3）以O(shè)為圓心，$\overline{O{O}_{2}}$為半徑作圓，該圓為粒子在B₂的磁場(chǎng)中軌跡圓心所在，圓心上到P點(diǎn)距離等于r₂的點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)為O₂，另一個(gè)點(diǎn)O′₂與O₂關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．
因?yàn)椤螼O₂M=30°，所以∠O₂OO′₂=120°，則當(dāng)粒子在B₂磁場(chǎng)中軌跡圓為O′₂時(shí)，其發(fā)射速度為v′，所以發(fā)射速度v′與v成120°，由此可得：發(fā)射速度v′與x軸正方向的夾角為180°．

解答 解：（1）粒子在B₁磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
  $qb{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$   
  且：${B}_{1}=\frac{mv}{qR}$
  解得：r=R
  粒子從M點(diǎn)進(jìn)入B₂磁場(chǎng)中，由幾何關(guān)系知道，粒子在B₁磁場(chǎng)中軌跡圓心O₁、M、O構(gòu)成一個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)邊
 長(zhǎng)為R的正三角形，所以粒子從M點(diǎn)沿平行于x軸進(jìn)入B₂磁場(chǎng)中．
   $（x-Rcos30°）^{2}+（{r}_{2}-Rsin30°）^{2}={{r}_{2}}^{2}$
  解得：r₂=2R
  因?yàn)?nbsp;  $qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
  得：${B}_{2}=\frac{mv}{2qR}=\frac{{B}_{1}}{2}$
（2）因?yàn)?nbsp; OM=R，O₂M=2R，所以∠OMO₂=60°  得OO₂=$\sqrt{3}R$
  所以粒子運(yùn)動(dòng)到離O點(diǎn)最遠(yuǎn)的N點(diǎn)時(shí)，如圖，
  ON=OO₂+r₂=$（2+\sqrt{3}）R$
  粒子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積為：
  S=$πO{N}^{2}=（7+4\sqrt{3}）π{R}^{2}$
（3）以O(shè)為圓心，$\overline{O{O}_{2}}$為半徑作圓，該圓為粒子在B₂的磁場(chǎng)中軌跡圓心所在，圓心上到P點(diǎn)距離等于r₂的點(diǎn)有兩個(gè)，一
  個(gè)為O₂，另一個(gè)點(diǎn)O′₂與O₂關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．
      因?yàn)椤螼O₂M=30°
      所以∠O₂OO′₂=120°
   當(dāng)粒子在B₂磁場(chǎng)中軌跡圓為O′₂時(shí)，其發(fā)射速度為v′，所以發(fā)射速度v′與v成120°，由此可得：發(fā)射速度v′與x軸正
  方向的夾角為180°．
答：（1）帶電粒子在圓內(nèi)區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)半徑為R，圓外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂為$\frac{mv}{2qB}$（或$\frac{{B}_{1}}{2}$）．
（2）有粒子可能出現(xiàn)的區(qū)域的面積為$（7+4\sqrt{3}）π{R}^{2}$．
（3）其他能夠經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的粒子，在O點(diǎn)出射時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角為180°．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于：①兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域出現(xiàn)圓內(nèi)和圓外，圓內(nèi)已知，本身粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)就是復(fù)雜，何況出現(xiàn)兩個(gè)圓區(qū)域．②粒子在圓心處向各個(gè)方向射出速度相等粒子，則粒子打在圓外不同位置，第三問(wèn)還要找出都能通過(guò)P點(diǎn)的入射粒子的入射方向．