Question

1．如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系中有兩條與y軸平行的磁場(chǎng)邊界AB和CD，AB、CD與x軸的交點(diǎn)分別為M（2L，0）、N（4L，0）．在AB和 CD之間存在著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在AB與 y軸之間存在著沿著y軸正方同的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，在y軸上的P點(diǎn)以初速度υ沿著x軸的正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，正好從M點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且速度方向與x軸所成夾角為30°．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E．
（2）若電子不能越過(guò)邊界CD，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件．
（3）若電子通過(guò)M點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的情況如圖乙所示（垂直紙面向外為正，且不考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生的感生電場(chǎng)），要使電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從N點(diǎn)飛出，速度方向與x軸的夾角為30°．求磁場(chǎng)變化的周期T、磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小各應(yīng)滿足的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）電子先在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，以與水平方向成30°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由類平拋運(yùn)動(dòng)末速度方向公式就能求出電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�
（2）要使電子不越過(guò)邊界CD，則最大半徑的軌跡恰與CD相切，由幾何關(guān)系求出最大的半徑，由洛侖茲力提供向心力就可以求出最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）根據(jù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，電子在交變磁場(chǎng)中相繼做逆、順時(shí)針?lè)较驁A周運(yùn)動(dòng)，符合條件的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是經(jīng)過(guò)n次偏轉(zhuǎn)后又從N點(diǎn)穿出，偏轉(zhuǎn)一次電子向右平移一個(gè)R，則nR=2L．于是再由洛侖茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的值，交變磁場(chǎng)的周期恰好為粒子逆、順時(shí)針偏轉(zhuǎn)一次的時(shí)間．

解答 解：（1）電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)與水平方向成30°，由類平拋運(yùn)動(dòng)末速度方向公式：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$   而v_y=at
eE=ma   2L=v₀t
聯(lián)立解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{6eL}$
（2）電子恰好不越過(guò)邊界CD的軌跡如圖實(shí)線所示，
$v=\frac{{v}_{0}}{cos30°}$
Rsin30°+R=2L
$evB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2eL}$ 
即須滿足B≥$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2eL}$
（3）要滿足電子從N點(diǎn)射出，且與x軸的夾角為30°，軌跡如圖乙所示，
在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，電子偏轉(zhuǎn)了60°，所以在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，電子在x軸方
向上的位移等于R′
nR′=2L  （n=1，2，3…）
$ev{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{R′}$，v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}$
解得：B₁=$\frac{\sqrt{3}nm{v}_{0}}{3eL}$   （n=1，2，3…）
又：$\frac{T}{2}=\frac{{T}_{1}}{6}$，T₁=$\frac{2πm}{e{B}_{1}}$    （n=1，2，3…）
解得：T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$     （n=1，2，3…）
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{6eL}$．
（2）若電子不能越過(guò)邊界CD，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件是B≥$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2eL}$．
（3）若電子通過(guò)M點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的情況如圖乙所示（垂直紙面向外為正，且不考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生的感生電場(chǎng)），要使電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從N點(diǎn)飛出，速度方向與x軸的夾角為30°則磁場(chǎng)變化的周期T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$ （n=1，2，3…）、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=$\frac{\sqrt{3}nm{v}_{0}}{3eL}$ （n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察帶電粒子在組合場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，要注意的是電子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)的末速度方向，聯(lián)系著電子在電場(chǎng)中的時(shí)間和場(chǎng)強(qiáng)大�。�其次電子在交變磁場(chǎng)分別做逆、順時(shí)針?lè)较驁A周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系表示半徑的多解式，從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度和周期的多解式．