Question

【題目】通過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識，雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來處理．

現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定：該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運(yùn)動．

（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動周期T計算；

（2）若實驗上觀測到的運(yùn)動周期為T觀測，且T觀測∶T計算=1∶ (N＞1)．為了解釋T觀測與T計算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì)．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)．若不考慮其他暗物質(zhì)的影響，請根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力公式：

解之得：

（2）根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運(yùn)動周期為，這是由于雙星系統(tǒng)內(nèi)（類似一個球體）均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布雙星系統(tǒng)內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用，與一個質(zhì)點（質(zhì)點的質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量且位于中點O處）的作用相同，考慮暗物質(zhì)作用后雙星系統(tǒng)的運(yùn)動周期，即：

代入并整理得：

故所求的暗物質(zhì)密度為：