Question

5．如圖所示，OACO為置于水平面內(nèi)的光滑閉合金屬導(dǎo)軌，OCA導(dǎo)軌的形狀滿足方程y=1.0sin（$\frac{π}{3}$x）（單位：m）．O、C處分別接有短電阻絲（圖中粗線表法），R₁=3.0Ω、R₂=6.0Ω（導(dǎo)軌其它部分電阻不計(jì)）．在xOy內(nèi)存在B=0.2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖．現(xiàn)有一長(zhǎng)1.5m的金屬棒在水平外力F作用下以速度v=5.0m/s水平向右勻速運(yùn)動(dòng)．在設(shè)棒與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)棒的電阻．求：
（1）外力F的最大值；
（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)R₁消耗的最大電功率；
（3）金屬棒滑動(dòng)導(dǎo)軌的過(guò)程中，外力所做的功．

Answer 1

分析 （1）金屬棒在導(dǎo)軌上從O點(diǎn)滑動(dòng)到A點(diǎn)，切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，有效切割長(zhǎng)度y按正弦規(guī)律變化，當(dāng)y最大時(shí)，感應(yīng)電流最大，安培力最大，外力F最大．棒做勻速運(yùn)動(dòng)，外力始終與安培力平衡，當(dāng)感應(yīng)電流最大時(shí)，安培力最大，則外力也最大，由F=BIL公式求出外力的最大值；
（2）當(dāng)y最大時(shí)，感應(yīng)電流最大，電阻絲R₁上消耗的功率最大．根據(jù)電功率計(jì)算公式求解R₁的最大功率；
（3）金屬棒滑過(guò)導(dǎo)軌OA的過(guò)程，外力所做的功等于電路中產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)焦耳定律求解．

解答 解：（1）金屬棒滑至C處，有效切割長(zhǎng)度最大，金屬棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，
由于y=1.0sin（$\frac{π}{3}$x），令y=0，有OA長(zhǎng)度為x_A=3m
金屬棒滑至C點(diǎn)時(shí)有：x_C=$\frac{{x}_{A}}{2}$=1.5m
故y_C=1.0sin（$\frac{π}{3}$×1.5）m=1.0m
電路總電阻為：R_總=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=2Ω
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E_C=By_Cv
感應(yīng)電流最大值為 I_m=$\frac{{E}_{c}}{{R}_{總}(cāng)}$=0.5A
金屬棒勻速通過(guò)金屬導(dǎo)軌C處時(shí)，外力有最大值為：
F_m=BI_my_C=0.2×0.5×1N=0.1N；
（2）通過(guò)電阻R₁的電流為：I₁=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}{I}_{m}$=$\frac{1}{3}$A
R₁的最大功率為：P_1m=I₁²R₁=0.33W
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得：E=Byv=Bv•1.0sin（$\frac{π}{3}$x），
而x=vt
所以得：E=1.0sin$\frac{5π}{3}$t（V），
所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有效值為：
E_有=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$V，
t=$\frac{{x}_{A}}{v}$=0.6s
由能量守恒得：W_外=Q=$\frac{{E}_{有}^{2}}{{R}_{總}(cāng)}t$=0.15J
答：（1）外力F的最大值為0.1N；
（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)R₁消耗的最大電功率為0.33W；
（3）金屬棒滑動(dòng)導(dǎo)軌的過(guò)程中，外力所做的功為0.15J．

點(diǎn)評(píng) 本題是產(chǎn)生正弦式電流的一種方式，運(yùn)用電磁感應(yīng)的基本規(guī)律得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流的表達(dá)式，要注意的是求焦耳熱時(shí)要用電流的有效值．