Question

18．如圖所示，光滑斜面傾角為θ，底端固定一垂直于斜面的擋板C．在斜面上放置長(zhǎng)木板A，A的下端與C的距離為d，A的上端放置小物塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)），A與B質(zhì)量相等，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=1.5tanθ．現(xiàn)同時(shí)由靜止釋放A和B，A與C發(fā)生碰撞的時(shí)間極短，碰撞前后速度大小相等，方向相反．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小物塊始終沒有從木板上滑落，已知重力加速度為g．求：
（1）A與C發(fā)生第一次碰撞前瞬間的速度大小v₁；
（2）A與C發(fā)生第一次碰撞后上滑到最高點(diǎn)時(shí)，小物塊的速度大小v₂；
（3）為使B不與C碰撞，木板A長(zhǎng)度的最小值L．

Answer 1

分析 （1）AB一起下滑的過(guò)程中，只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求解A與C發(fā)生第一次碰撞前瞬間的速度大小v₁；
（2）木板上升時(shí)，對(duì)A、B分別運(yùn)用由牛頓運(yùn)動(dòng)定律列式求解加速度，可得到A的加速度大于B的加速度大小，說(shuō)明A的速度先減至零．再速度時(shí)間公式求解v₂；
（3）由于不斷的上滑和碰撞，最終A和B恰好都停在C上時(shí)，對(duì)全過(guò)程，運(yùn)用能量守恒求解L的最小值．

解答 解：（1）第一次碰撞前由機(jī)械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$（m+m）v₁²=2mgdsinθ                              
解得：v₁=$\sqrt{2gdsinθ}$                                    
（2）設(shè)發(fā)生第一次碰撞后，A上滑、B下滑的加速度大小分別為a_A、a_B，則由牛頓第二定律有：
對(duì)木板A：μmgcosθ+mgsinθ=ma_A                                  
對(duì)小物塊B：μmgcosθ-mgsinθ=ma_B                                  
由于a_A＞a_B，則A先減速到零，設(shè)A第一次碰撞后上滑到最高點(diǎn)的時(shí)間為t，則
v₁=a_At     v₂=v₁-a_Bt                                  
聯(lián)立解得：v₂=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gdsinθ}$                              
（3）對(duì)于A、B運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，由能量守恒定律有：
mgdsinθ+mg（d+L）sinθ=μmgLcosθ                        
解得：L=4d  
答：（1）A與C發(fā)生第一次碰撞前瞬間的速度大小為$\sqrt{2gdsinθ}$；
（2）A與C發(fā)生第一次碰撞后上滑到最高點(diǎn)時(shí)，小物塊的速度大小為$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gdsinθ}$；
（3）為使B不與C碰撞，木板A長(zhǎng)度的最小值為4d．

點(diǎn)評(píng) 在應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，此類問(wèn)題，還要對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段處理．對(duì)于板長(zhǎng)，往往根據(jù)能量守恒求解．