Question

5．2016年1月20日，美國天文學家推測，太陽系有第九大行星，該行星質(zhì)量約為地球的10倍，半徑約為地球的4倍，繞太陽一周需約2萬年，冥王星比它亮約一萬倍．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，地球和該行星繞太陽運動均視為勻速圓周運動．下列說法正確的是（　�。�

• A． 太陽的質(zhì)量約為$\frac{g{R}^{2}}{G}$
• B． 該行星的質(zhì)量約為$\frac{10g{R}^{2}}{G}$
• C． 該行星表面的重力加速度約為$\frac{5}{8}$g
• D． 該行星到太陽的距離約為地球到太陽的距離的7.4×10²倍

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合地球表面的重力加速度和地球的半徑可以求出地球的質(zhì)量，從而得出該行星的質(zhì)量．根據(jù)半徑關(guān)系和質(zhì)量關(guān)系得出表面重力加速度的感謝，求出行星表面的重力加速度．根據(jù)萬有引力提供向心力得出周期與軌道半徑的關(guān)系，結(jié)合周期之比求出軌道半徑之比．

解答 解：A、地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，故A錯誤．
B、行星質(zhì)量約為地球的10倍，則行星的質(zhì)量約為$\frac{10g{R}^{2}}{G}$，故B正確．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，因為行星質(zhì)量約為地球的10倍，半徑約為地球的4倍，則行星表面的重力加速度約為$\frac{5}{8}$g，故C正確．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，因為該行星繞太陽的周期大約是地球繞太陽周期的2萬倍，則該行星到太陽的距離約為地球到太陽的距離的7.4×10²倍，故D正確．
故選：BCD．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．