Question

4．現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)．平移器由垂直紙面水平放置的兩對(duì)平行金屬板構(gòu)成，如圖所示．其中極長(zhǎng)均為l=0.2m，板間距離均為d=0.3m，兩對(duì)平行板間的水平間距也為l=0.2m，兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓大小均為U=3×10²V，且電場(chǎng)方向相反．平移器右側(cè)有一圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，磁場(chǎng)邊界恰好過紙面內(nèi)坐標(biāo)系Oxy的坐標(biāo)原點(diǎn)O且與y軸、x軸相交于B、C兩點(diǎn)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=4×10^-10kg、電荷量為q=1×10^-6C的帶正電粒子以v₀=1×10³m/s的速度從x軸上的A點(diǎn)射入平移器，且A點(diǎn)恰好在平移器的左邊緣，入射方向平行紙面水平向右．粒子離開平移器后恰好從B點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，并從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為60⁰，不計(jì)粒子重力．求：
（1）帶電粒子射出第一個(gè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)相對(duì)A點(diǎn)的豎直距離；
（2）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子只受電場(chǎng)力作用求得加速度，再由粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求得豎直距離；
（2）根據(jù)粒子在兩電場(chǎng)中做勻變速運(yùn)動(dòng)，在兩電場(chǎng)中間做勻速直線運(yùn)動(dòng)求得OB的距離，然后由粒子在B、C兩點(diǎn)的速度方向，由幾何關(guān)系求得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，即可由洛倫茲力做向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）由圖得到粒子轉(zhuǎn)過的中心角，再根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）由題意可得帶電粒子在第一個(gè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，加速度：$a=\frac{qU}{md}$，設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，那么，
水平位移：S_x=l=v₀t；豎直位移：${S_y}=\frac{1}{2}a{t^2}$，所以，${S_y}=\frac{{qU{l^2}}}{{2md{v_0}^2}}=0.05m$；
（2）粒子在離開第一個(gè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的豎直分速度：v_y=at；
由題意可知粒子在兩偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷時(shí)間也為t，所以可得：豎直位移：${S_y}^′={v_y}t=\frac{{qU{l^2}}}{mdv_0^2}=0.1m$；
粒子在第二個(gè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做勻減速運(yùn)動(dòng)，離開第二個(gè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，豎直分速度剛好為零，故粒子在第二個(gè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的位移也為S_y=0.05m；
所以，粒子在豎直方向上的總位移：${y_{OB}}=2{S_y}+{S_y}^′=0.2m$；
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度v=v₀；
設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R，則由洛倫茲力做向心力，有$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$；所以，$R=\frac{{m{v_0}}}{qB}$；
又根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可得：Rcos60°=R-y_OB，所以，R=2y_OB=0.4m，那么，$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}=1T$；
（3）由圖中幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的中心角為60⁰，所以帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\frac{1}{6}T$；
又有粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πm}{qB}$；
所以，$t=\frac{πm}{3qB}=\frac{4π}{3}×{10^{-4}}s$；
答：（1）帶電粒子射出第一個(gè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)相對(duì)A點(diǎn)的豎直距離為0.05m；
（2）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為1T；
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{4π}{3}×1{0}^{-4}s$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題，一般由洛倫茲力做向心力求得半徑的表達(dá)式，然后根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，即可聯(lián)立求解．