Question

（2010?海淀區(qū)模擬）如圖所示，在一個(gè)正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)從ad邊的中心O點(diǎn)處，垂直磁場方向射入一速度為v₀的帶正電粒子，v₀與ad邊垂直．已知粒子質(zhì)量為m，帶電量為q，正方形的邊長為L，不計(jì)粒子的重力．
（1）若要使粒子能從ab邊射出磁場，求v₀的大小范圍；
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場中．由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得到半徑公式r=

mv

qB

，粒子的速度v越大，軌跡半徑r越大．粒子從ab邊射出磁場時(shí)，從a點(diǎn)射出，軌跡半徑最小，對應(yīng)的速度最小，從b點(diǎn)射出，軌跡半徑最大，對應(yīng)的速度最大，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，再由牛頓第二定律求出對應(yīng)的速度，即可得到速度的范圍．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

θ

2π

T，θ是軌跡所對應(yīng)的圓心角，T是一定的，θ越大，t越大，當(dāng)θ最大時(shí)，t最長．由圖知，θ最大為π，則知最長時(shí)間為

1

2

T．

解答：解：（1）當(dāng)粒子從a點(diǎn)射出時(shí)，軌跡半徑最小，設(shè)為r₁．對應(yīng)的速度最小，設(shè)為v₁．當(dāng)粒子從從b點(diǎn)射出時(shí)，軌跡半徑最大，設(shè)為r₂．對應(yīng)的速度最大，設(shè)為v₂．
根據(jù)幾何關(guān)系得：r₁=

1

4

L，

r

2 2

=L²+(r2-

1

2

L)2
則得 r₂=

5

4

L
根據(jù)牛頓第二定律得：qvB=m

v2

r

則得v=

qBr

m

故有v₁=

qBL

4m

，v₂=

5qBL

4m

所以要使粒子能從ab邊射出磁場，v₀的大小范圍為

qBL

4m

≤v₀≤，5qBL4m
（2）粒子運(yùn)動(dòng)周期為 T=

2πm

qB

當(dāng)粒子從oa邊射出時(shí)，轉(zhuǎn)過的圓心角最大，為π．故粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為t=

1

2

T=

πm

qB

．
答：
（1）要使粒子能從ab邊射出磁場，v₀的大小范圍為

qBL

4m

≤v₀≤

5qBL

4m

．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為

πm

qB

．

點(diǎn)評：帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的類型，確定向心力來源，畫出軌跡，運(yùn)用牛頓第二定律列式是慣用的解題思路．平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練，才能運(yùn)用自如．