Question

2．如圖所示，質量為m、自然長度為2πa、勁度系數(shù)為k的彈性圈，水平置于半徑為R的固定剛性球上，不計摩擦，且a=$\frac{R}{2}$．
（1）設平衡時圈長為2πb，且b=$\sqrt{2}$a，試求k的值．
（2）若k=$\frac{mg}{2{π}^{2}R}$，求彈性圈的平衡位置及長度．

Answer 1

分析 （1）在彈性繩上取一微元，得出這一微元的質量以及該微元受到彈性繩兩端拉力的合力，對該微元受力分析，根據(jù)共點力平衡求出彈力的大小，結合胡克定律求出彈性繩的勁度系數(shù)；
（2）同理可以求出彈性圈的平衡位置及長度．

解答 解：（1）在彈性繩上取一小段微元△m，該微元所對應的圓心角為△θ，微元△m的長度為b△θ，則$△m=\frac{m}{2πb}b△θ=\frac{m}{2π}△θ$   ①，
微元兩端受到彈性繩的合力為$2F•\frac{△θ}{2}$  ②．
x=2π（b-a），
開始時，a=$\frac{R}{2}$，b=$\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}R}{2}$，根據(jù)幾何關系知，支持力與水平方向的夾角為45°，
根據(jù)共點力平衡有：$2F\frac{△θ}{2}=△mg=\frac{mg}{2π}△θ$，③
解得彈性繩的彈力F=$\frac{mg}{2π}$    ④
根據(jù)胡克定律得，F(xiàn)=kx=k•2π（b-a）  ⑤
聯(lián)立個方程解得k=$\frac{\sqrt{2}+1}{2{π}^{2}}（\frac{mg}{R}）$．
（2）若k=$\frac{mg}{2{π}^{2}R}$，設彈性圈的長度是2πc，由幾何關系可知，彈性圈的位置與球心的連線與水平方向之間的夾角：
$cosα=\frac{c}{R}$ 
則：$tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{\sqrt{{R}^{2}-{c}^{2}}}{c}$   ⑥
則結合公式①②⑤可得：$2k•2π（c-a）•\frac{△θ}{2}=\frac{m}{2π}△θ•g•\frac{1}{tanα}$    ⑦
將k與⑥代入⑦，得：$\frac{c-a}{R}=\frac{1}{2tanα}$=$\frac{c}{2\sqrt{{R}^{2}-{c}^{2}}}$
解得：α=60°，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，故周長為$\sqrt{3}πR$．
答：（1）彈性繩的勁度系數(shù)為$\frac{\sqrt{2}+1}{2{π}^{2}}（\frac{mg}{R}）$．
（2）彈性圈的平衡位置與圓心連線與水平方向夾角為60°，長度為$\sqrt{3}πR$．

點評 本題考查了共點力平衡和胡克定律的綜合運用，難度較大，難點在于通過微元法進行求解，需注意該微元兩端都受到彈性繩的彈力，本題對數(shù)學幾何能力的要求也較高．