Question

10．如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面底部固定一輕質(zhì)彈簧，將一質(zhì)量為m的物塊B靜置于斜面上，平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為x₀，O點(diǎn)為彈簧的原長(zhǎng)位置．在距O點(diǎn)距離為2x₀ 的斜面頂端P點(diǎn)有一質(zhì)量也為m的物塊A，現(xiàn)讓A從靜止開(kāi)始沿斜面下滑，A與B相碰后立即粘在一起沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，并恰好回到O點(diǎn)（A、B均視為質(zhì)點(diǎn)）．試求：
（1）A、B相碰后瞬間的共同速度的大�。�
（2）A、B相碰前彈簧具有的彈性勢(shì)能；
（3）若在斜面頂端再連接一光滑的半徑R=x₀的半圓軌道PQ，圓軌道與斜面最高點(diǎn)P相切，現(xiàn)讓物塊A以多大初速度從P點(diǎn)沿斜面下滑，才能使A與B碰后在斜面與圓弧間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析 （1）A球下滑3x₀與B球碰撞前的過(guò)程，只有重力做功，A球的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求得碰撞前A的速度；A與B球碰撞過(guò)程中，遵守動(dòng)量守恒，可列式動(dòng)量守恒方程求得A、B相碰后瞬間的共同速度的大小；
（2）碰后，A、B和彈簧組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律列出方程，結(jié)合第1問(wèn)的結(jié)果，即可求解A、B相碰前彈簧的具有的彈性勢(shì)能；
（3）該問(wèn)中A下滑的過(guò)程以及與B碰撞的過(guò)程與（1）、（2）問(wèn)相似，碰后到最高點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，從P點(diǎn)進(jìn)入圓軌道后還能往復(fù)運(yùn)動(dòng)，則AB最多運(yùn)動(dòng)到圓心等高處D點(diǎn)速度為零，列出相應(yīng)的公式，即可求解．

解答 解：（1）A與B球碰撞前后，A球的速度分別是v₁和v₂，因A球滑下過(guò)程中，機(jī)械能守恒，則有：
    mg（3x₀）sin30°=$\frac{1}{2}$mv₁² 
解得：v₁=$\sqrt{3g{x}_{0}}$
又因A與B球碰撞過(guò)程中，動(dòng)量守恒，取沿斜面向下為正方向，則有：mv₁=2mv₂
聯(lián)立得：v₂=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3g{x}_{0}}$
（2）碰后，A、B和彈簧組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒．則有：
  E_P+$\frac{1}{2}$•2mv₂²=0+2mg•x₀sin30°
解得：E_P=2mg•x₀sin30°-$\frac{1}{2}$•2mv₂²=mgx₀-$\frac{3}{4}$mgx₀=$\frac{1}{4}$mgx₀
（3）設(shè)物塊在P點(diǎn)初速度為v₀，A從P到與B相碰前：機(jī)械能守恒，則有
    $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mg•3x₀sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得 v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+3g{x}_{0}}$
AB相碰，動(dòng)量守恒，設(shè)碰后速度為v．取沿斜面向下為正方向，則
    mv_A=2mv
解得 v=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+3g{x}_{0}}$
AB相碰后與彈簧系統(tǒng)至AB運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，能量守恒，則有
 $\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$+E_p=2mg•3x₀sin30°+$\frac{1}{2}•2m{v}_{P}^{2}$
解得  v_P²=$\frac{1}{4}{v}_{0}^{2}$-2gx₀．
從P點(diǎn)進(jìn)入圓軌道后還能往復(fù)運(yùn)動(dòng)，則AB最多運(yùn)動(dòng)到圓心等高處D點(diǎn)速度為零，即
  0＜$\frac{1}{2}•2m{v}_{P}^{2}$≤2mgRcos30°
解得 $\sqrt{8g{x}_{0}}$＜v₀≤$\sqrt{4（2+\sqrt{3}）g{x}_{0}}$
答：
（1）A、B相碰后瞬間的共同速度的大小為$\frac{1}{2}\sqrt{3g{x}_{0}}$．
（2）A、B相碰前彈簧具有的彈性勢(shì)能為$\frac{1}{4}$mgx₀．
（3）讓物塊A以$\sqrt{8g{x}_{0}}$＜v₀≤$\sqrt{4（2+\sqrt{3}）g{x}_{0}}$的初速度從P點(diǎn)沿斜面下滑，才能使A與B碰后在斜面與圓弧間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程、抓住碰撞時(shí)彈簧的壓縮量與A、B到達(dá)P點(diǎn)時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量相等，彈簧勢(shì)能相等是關(guān)鍵，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律即可正確解題．