Question

4．如圖所示，BC是一段光滑圓軌道，DE為半圓形光滑軌道，兩圓弧軌道半徑均為R，固定于豎直平面內(nèi)，一滑板板長l=6.5R，靜止在光滑的底面上，右端緊靠C點，板左端到D點的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，上表面所在平面與兩圓弧分別相切于C，D兩點，一質(zhì)量為m的物塊以v₀=2$\sqrt{2gR}$的初速度由B點沿BC圓弧軌道滑下，再經(jīng)C點滑上滑板，滑板運動到D點時被牢固粘連，若滑板質(zhì)量M=2m，BC間的高度h=$\frac{R}{2}$，物塊與滑板間的動摩擦因數(shù)為為μ=0.5，重力加速度取g，求：（結(jié)果用字母m、g、R、L表示）

（1）求物塊滑到C點時所受圓弧軌道的支持力的大�。�
（2）試討論物塊從滑上滑板到離開左端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系；并判斷物塊能否滑到DE軌道的中點．

Answer 1

分析 （1）先由動能定理求出物塊滑到C點時的速度．在C點，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求軌道的支持力．
（2）物塊從C滑上滑板后開始做勻減速運動，此時滑板開始做勻加速直線運動，當物塊與滑板達共同速度v₂時，二者開始做勻速運動，由動量守恒定律求得共同速度，分別對物塊和滑板運用動能定理求得各自的位移，得到二者的相對位移，分：R＜L＜2R和2R≤L＜5R兩個范圍，求克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系，并判斷物塊能否滑到DE軌道的中點．

解答 解：（1）設(shè)物塊滑到C點的速度為v₁．
從B到C，由動能定理得 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
結(jié)合v₀=2$\sqrt{2gR}$，h=$\frac{R}{2}$，解得 v₁=3$\sqrt{gR}$
在C點，根據(jù)牛頓第二定律得
    F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 F_N=10mg
（2）物塊從C滑上滑板后開始做勻減速運動，此時滑板開始做勻加速直線運動，當物塊與滑板達共同速度v₂時，二者開始做勻速運動，取向左為正方向，由動量守恒定律得 mv₁=（m+M）v₂．
解得 v₂=$\sqrt{gR}$
對物塊，根據(jù)動能定理有-μmgl₁=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
對滑板，根據(jù)動能定理有 μmgl₂=$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
解得  l₁=8R，l₂=2R
物塊相對滑板的位移△l=l₁-l₂=6R＜l
即物塊與滑板在達到共同速度時，物塊未離開滑板．
討論：
①當R＜L＜2R，物塊在滑板上一直勻減速運動至D，運動的位移為 6.5R+L，克服摩擦力做的功
     W_f=μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L）
設(shè)滑物塊上D點的速度為v_D．根據(jù)動能定理有-μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得  $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}$mg（2.5R-L）＜mgR
所以物塊不可能滑到DE軌道的中點．
②當2R≤L＜5R，物塊先勻減速運動8R，然后勻速運動L-2R，再勻減速運動0.5R，克服摩擦力做功為
    W_f=μmg（8R+0.5R）=$\frac{17}{4}$mgR
設(shè)滑上D點的速度為v_D′，根據(jù)動能定理有-μmg（8R+0.5R）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$=$\frac{1}{4}$mgR＜mgR
所以物塊不可能滑到DE軌道的中點．
答：
（1）物塊滑到C點時所受圓弧軌道的支持力的大小是10mg；
（2）物塊從滑上滑板到離開左端的過程中，當R＜L＜2R時，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系為：W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），物塊不可能滑到DE軌道的中點．
當2R≤L＜5R時，W_f=$\frac{17}{4}$mgR，物塊不可能滑到DE軌道的中點．

點評 本題是復(fù)雜的力學綜合題搞清物塊和滑板的運動過程是解答的關(guān)系，當物塊在滑板上滑行時，要注意分析能否達到共同速度．