Question

17．如圖所示，固定斜面足夠長(zhǎng)，斜面與水平面的夾角α=30°，一質(zhì)量為3m的“L”型工件沿斜面以速度v₀勻速向下運(yùn)動(dòng)，工件上表面光滑，下端為擋板．某時(shí)，一質(zhì)量為m的小木塊從工件上的A點(diǎn)，沿斜面向下以速度v₀滑上工件，當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到工件下端時(shí)（與擋板碰前的瞬間），工件速度剛好減為零，后木塊與擋板第1次相碰，以后每隔一段時(shí)間，木塊就與工件擋板碰撞一次，已知木塊與擋板都是彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短，木塊始終在工件上運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，求：
（1）木塊滑上工件時(shí)，木塊、工件各自的加速度大小；
（2）木塊與擋板第1次碰撞后的瞬間，木塊、工件各自的速度大��；
（3）木塊與擋板第1次碰撞至第n（n=2，3，4，5，…）次碰撞的時(shí)間間隔及此時(shí)間間隔內(nèi)木塊和工件組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用隔離法，根據(jù)牛頓第二定律求木塊、工件各自的加速度大��；
（2）由動(dòng)量守恒定律求出碰擋板前木塊的速度，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求木塊與擋板第1次碰撞后的瞬間，木塊、工件各自的速度大��；
（3）第1次碰撞后，木塊以2v₀沿工件向上勻減速運(yùn)動(dòng)，工件以2v₀沿斜面向下勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度公式求工件速度再次減為零的時(shí)間，并由位移公式求出位移．木塊、工件第2次相碰前瞬間的速度與第1交相碰前的瞬間速度相同，以后木塊、工件重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，再求得第1次與第n次碰撞的時(shí)間間隔．此時(shí)間間隔內(nèi)木塊和工件組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E等于木塊、工件減少的重力勢(shì)能．

解答 解：（1）設(shè)工件與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，木塊加速度為a₁，工件的加速度為a₂．
根據(jù)牛頓第二定律得：
對(duì)木塊：mgsinα=ma₁．
對(duì)工件：μ（3m+m）gcosα-3mgsinα=3ma₂．
工件勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡條件得：μ•3mgcosα=3mgsinα
解得 a₁=$\frac{g}{2}$，a₂=$\frac{g}{6}$
（2）設(shè)碰擋板前木塊的速度為v，取沿斜面向下為正方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
  3mv₀+mv₀=mv
得 v=4v₀．
木塊以速度v與擋板發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰后木塊的速度為v₁，工件的速度為v₂，由動(dòng)量守恒定律得：
  mv=mv₁+3mv₂．
由能量守恒得：
 $\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$•3mv₂²．
解得 v₁=-2v₀，v₂=2v₀．
（3）第1次碰撞后，木塊以2v₀沿工件向上勻減速運(yùn)動(dòng)，工件以2v₀沿斜面向下勻減速運(yùn)動(dòng)，工件速度再次減為零的時(shí)間
    t=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{2}}$=$\frac{12{v}_{0}}{g}$
   木塊的速度 v₁′=-2v₀+a₁t=4v₀．
此時(shí)，木塊的位移 x₁=-2v₀t+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{12{v}_{0}^{2}}{g}$
工件的位移 x₂=2v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{12{v}_{0}^{2}}{g}$
即木塊、工件第2次相碰前瞬間的速度與第1交相碰前的瞬間速度相同，以后木塊、工件重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，則第1次與第n次碰撞的時(shí)間間隔
△t=（n-1）t=$\frac{12（n-1）{v}_{0}}{g}$，（n=2，2，3，4，…）
木塊、工件每次碰撞時(shí)，木塊和工件的總動(dòng)能都相等，△t時(shí)間內(nèi)木塊、工件減少的機(jī)械能等于木塊、工件減少的重力勢(shì)能．
△E=4mg（n-1）x₂sin30°
解得△E=24（n-1）mv₀²，（n=2，2，3，4，…）
答：
（1）木塊滑上工件時(shí)，木塊、工件各自的加速度大小分別為$\frac{g}{2}$和$\frac{g}{6}$；
（2）木塊與擋板第1次碰撞后的瞬間，木塊、工件各自的速度大小分別為2v₀和2v₀；
（3）木塊與擋板第1次碰撞至第n（n=2，3，4，5，…）次碰撞的時(shí)間間隔是（n-1）t=$\frac{12（n-1）{v}_{0}}{g}$，（n=2，2，3，4，…），此時(shí)間間隔內(nèi)木塊和工件組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E是24（n-1）mv₀²，（n=2，2，3，4，…）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清木塊和工件在斜面上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住碰撞的基本規(guī)律：動(dòng)量守恒定律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．