Question

1．如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)帶電粒子X(jué)第一次從x軸上的P₁點(diǎn)以一定的速度進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與x軸正方向成60°角，粒子穿過(guò)y軸正半軸的P₂點(diǎn)時(shí)方向沿-x方向，粒子X(jué)從x軸上的P₃點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，該帶電粒子X(jué)第二次以相同的速度仍從P₁點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)P₂點(diǎn)時(shí)與一個(gè)靜止的不帶電的粒子Y發(fā)生正碰并立即結(jié)合為一個(gè)整體Z繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)經(jīng)過(guò)x軸上的P₄點(diǎn)，已知粒子X(jué)和粒子Y質(zhì)量均為m，兩個(gè)粒子的重力均不計(jì)，求：
（1）兩次粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的位置P₃、P₄之間的距離d；
（2）粒子第一次與第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)量守恒求得粒子Z的質(zhì)量、電荷、速度；然后由洛倫茲力作向心力分別求得粒子X(jué)、Z運(yùn)動(dòng)的半徑，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系求得距離；
（2）由（1）求得粒子轉(zhuǎn)過(guò)的中心角，再分別求得粒子運(yùn)動(dòng)的周期即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比．

解答 解：（1）粒子X(jué)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力，有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，解得：$R=\frac{mv}{Bq}$，如圖所示

P₃的坐標(biāo)為$（-\frac{\sqrt{3}}{2}R，0）$；
X與一個(gè)靜止的不帶電的粒子Y發(fā)生正碰并立即結(jié)合為一個(gè)整體Z繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用動(dòng)量守恒，則Z的質(zhì)量為2m，速度為$\frac{1}{2}v$，電量為q，
所以，Z做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：$r=\frac{2m×\frac{1}{2}v}{Bq}=R$，
所以，Z的運(yùn)動(dòng)軌跡和X的相同，那么P₃，P₄重疊，所以d=0；
（2）由（1）可知：粒子第一次為X在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)240°，粒子第二次位X轉(zhuǎn)過(guò)120°，Z轉(zhuǎn)過(guò)120°；
粒子X(jué)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：${T}_{X}=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$，
Z在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：${T}_{Z}=\frac{2πR}{\frac{1}{2}v}=2{T}_{X}$；
所以，粒子第一次與第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為：
$\frac{\frac{240°}{360°}{T}_{X}}{\frac{120°}{360°}{T}_{X}+\frac{120°}{360°}{T}_{Z}}=\frac{2×1}{1×1+1×2}=\frac{2}{3}$；
答：（1）兩次粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的位置P₃、P₄之間的距離d為零；
（2）粒子第一次與第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 粒子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子速度與徑向垂直．在求解帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，常用來(lái)聯(lián)立其他幾何條件求解半徑．