Question

1．如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強磁場，一個帶電粒子X第一次從x軸上的P₁點以一定的速度進(jìn)入磁場，已知粒子進(jìn)入磁場時的速度方向垂直于磁場且與x軸正方向成60°角，粒子穿過y軸正半軸的P₂點時方向沿-x方向，粒子X從x軸上的P₃點離開磁場，該帶電粒子X第二次以相同的速度仍從P₁點進(jìn)入磁場，經(jīng)過P₂點時與一個靜止的不帶電的粒子Y發(fā)生正碰并立即結(jié)合為一個整體Z繼續(xù)運動，離開磁場時經(jīng)過x軸上的P₄點，已知粒子X和粒子Y質(zhì)量均為m，兩個粒子的重力均不計，求：
（1）兩次粒子離開磁場的位置P₃、P₄之間的距離d；
（2）粒子第一次與第二次在磁場中運動時間之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動量守恒求得粒子Z的質(zhì)量、電荷、速度；然后由洛倫茲力作向心力分別求得粒子X、Z運動的半徑，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系求得距離；
（2）由（1）求得粒子轉(zhuǎn)過的中心角，再分別求得粒子運動的周期即可求得運動時間之比．

解答 解：（1）粒子X在磁場中運動，洛倫茲力作向心力，有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，解得：$R=\frac{mv}{Bq}$，如圖所示

P₃的坐標(biāo)為$（-\frac{\sqrt{3}}{2}R，0）$；
X與一個靜止的不帶電的粒子Y發(fā)生正碰并立即結(jié)合為一個整體Z繼續(xù)運動，應(yīng)用動量守恒，則Z的質(zhì)量為2m，速度為$\frac{1}{2}v$，電量為q，
所以，Z做圓周運動的半徑為：$r=\frac{2m×\frac{1}{2}v}{Bq}=R$，
所以，Z的運動軌跡和X的相同，那么P₃，P₄重疊，所以d=0；
（2）由（1）可知：粒子第一次為X在磁場中轉(zhuǎn)過240°，粒子第二次位X轉(zhuǎn)過120°，Z轉(zhuǎn)過120°；
粒子X在磁場中運動的周期為：${T}_{X}=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$，
Z在磁場中運動的周期為：${T}_{Z}=\frac{2πR}{\frac{1}{2}v}=2{T}_{X}$；
所以，粒子第一次與第二次在磁場中運動時間之比為：
$\frac{\frac{240°}{360°}{T}_{X}}{\frac{120°}{360°}{T}_{X}+\frac{120°}{360°}{T}_{Z}}=\frac{2×1}{1×1+1×2}=\frac{2}{3}$；
答：（1）兩次粒子離開磁場的位置P₃、P₄之間的距離d為零；
（2）粒子第一次與第二次在磁場中運動時間之比為$\frac{2}{3}$．

點評 粒子做圓周運動時，粒子速度與徑向垂直．在求解帶電粒子在磁場中的運動問題時，常用來聯(lián)立其他幾何條件求解半徑．