Question

【題目】如圖所示，一木塊位于光滑的水平桌面上，木塊上固連一支架，木塊與支架的總質(zhì)量為M．一擺球掛于支架上，擺球的質(zhì)量為m，擺線的質(zhì)量不計(jì)．初始時(shí)，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)．一質(zhì)量為m的子彈以大小為v0、方向垂直于圖面向里的速度射人擺球并立即停留在球內(nèi)，擺球和子彈便一起開始運(yùn)動．已知擺線最大的偏轉(zhuǎn)角小于90°，在小球往返運(yùn)動過程中擺線始終是拉直的，木塊未發(fā)生轉(zhuǎn)動．

i．求擺球上升的最大高度．

ii．求木塊的最大速率．

iii．求擺球在最低處時(shí)速度的大小和方向．

Answer 1

【答案】i．ii．iii．，方向向前，

【解析】

i．由于子彈射人擺球至停留在球內(nèi)經(jīng)歷的時(shí)間極短，可以認(rèn)為在這過程中擺球僅獲得速度但無位移．設(shè)擺球（包括停留在球內(nèi)的子彈）向前（指垂直于圖面向里）的速度為u，由動量守恒定律有

mv0=2mu(l)

擺球以速度u開始向前擺動，木塊亦發(fā)生運(yùn)動．當(dāng)擺球上升至最高時(shí)，擺球相對木塊靜止，設(shè)此時(shí)木塊的速度為V，擺球上升的高度為h，因水平方向動量守恒以及機(jī)械能守恒有

2mu=(2m+M)V(2)

(3)

解（l）、（2）、（3）三式得

(4)

ii．?dāng)[球升到最高后相對木塊要反向擺動．因?yàn)樵跀[球從開始運(yùn)動到擺線返回到豎直位置前的整個(gè)過程中，擺線作用于支架的拉力始終向斜前方，它使木塊向前運(yùn)動的速度不斷增大；擺線經(jīng)過豎直位置后，直到擺線再次回到豎直位置前，擺線作用于支架的拉力將向斜后方，它使木塊速度減小，所以在擺線（第一次）返回到豎直位置的那一時(shí)刻，木塊的速度最大，方向向前

以V’表示擺線位于豎直位置時(shí)木塊的速率，u’表示此時(shí)擺球的速度（相對桌面），當(dāng)u'>0，表示其方向水平向前，反之，則水平向后．因水平方向動量守恒以及機(jī)械能守恒，故有

(5)

(6)

解（1）、（5）、（6）三式可得擺線位于豎直位置時(shí)木塊速度的大小

(7)

(8)

(7）式對應(yīng)于子彈剛射人擺球但木塊尚未運(yùn)動時(shí)木塊的速度，它也是擺球在以后相對木塊往復(fù)運(yùn)動過程中擺線每次由后向前經(jīng)過豎直位置時(shí)木塊的速度；而題中要求的木塊的最大速率為（8）式，它也是擺球在以后相對木塊的往復(fù)運(yùn)動過程中擺線每次由前向后經(jīng)過豎直位置時(shí)木塊的速度．

iii．在整個(gè)運(yùn)動過程中，每當(dāng)擺線處于豎直位置時(shí)，小球便位于最低處．當(dāng)子彈剛射人擺球時(shí)，擺球位于最低處，設(shè)這時(shí)擺球的速度為u，由（l）式得

(9)

方向水平向前．當(dāng)擺球第一次回到最低處時(shí)，木塊速度最大，設(shè)這時(shí)擺球的速度為u'，由(l）、（5）、（6）三式和（8）式可得

(10)

其方向向后．

當(dāng)擺球第二次回到最低處時(shí)，由（7）式木塊速度減至0，設(shè)這時(shí)擺球的速度為u'，

由（l）、（5）、（6）式可得

u'＝(11)

方向向前，開始重復(fù)初始的運(yùn)動．