Question

4．如圖所示，豎直平面內(nèi)的$\frac{3}{4}$圓弧形光滑軌道半徑為R，A端與圓心O等高，AD為與水平方向成45°角的斜面．B端在O的正上方．一個小球在A點正上方由靜止開始釋放，自由下落至A點后進入圓形軌道并恰能到達B點，求：
（1）到達B點時小球的速度；
（2）小球落到斜面上C點時的速度大��；
（3）小球從B點到達C點過程中何時離斜面最遠．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求得在B處的速度；
（2）由平拋運動位移規(guī)律，根據(jù)幾何關系求得平拋運動時間，然后根據(jù)平拋運動速度規(guī)律求解末速度；
（3）根據(jù)平拋運動位移規(guī)律求得任意時刻到斜面距離的表達式，進而求得最大值．

解答 解：（1）小球恰能到達B點，那么對小球在B點應用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{gR}$；
（2）小球從B到C做平拋運動，故有$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v_Bt；由幾何關系可知：x=y，所以，$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$，那么，小球在C點時的豎直分速度${v}_{Cy}=gt=\sqrt{2gR}$，
所以，小球在C點的速度${v}_{C}=\sqrt{3gR}$；
（3）小球從B點到達C點過程中任意時刻離BD的距離$d=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}=\frac{|\sqrt{gR}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\sqrt{\frac{g}{2}}t-\sqrt{\frac{R}{2}}）^{2}-\frac{R}{2}|}{\sqrt{2}}$，
所以，當$t=\sqrt{\frac{R}{g}}$時，x=R，$y=\frac{1}{2}R$，小球從B點到達C點過程中離斜面最遠，
答：（1）到達B點時小球的速度為$\sqrt{gR}$；
（2）小球落到斜面上C點時的速度大小為$\sqrt{3gR}$；
（3）小球從B點到達C點過程中$t=\sqrt{\frac{R}{g}}$時離斜面最遠．

點評 經(jīng)典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．