Question

【題目】如圖甲所示，真空中有間距為2R、長(zhǎng)度為4R的水平平行金屬板M和N，其間有一半徑為R的圓形區(qū)域（虛線圓所圍）內(nèi)存在水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與紙面垂直。兩板間的中心線O1O3與磁場(chǎng)區(qū)域的圓心O在同一水平線上。開(kāi)始一段時(shí)間在金屬板MN間加上一恒定電壓（記為+U0），讓一電荷量為＋q、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從圓形區(qū)域最低點(diǎn)P以某一初速度（記為v0）沿指向圓心O的方向進(jìn)入圓形區(qū)域后，恰好做圓周運(yùn)動(dòng)并從圓形區(qū)域的O2點(diǎn)飛出（此時(shí)刻記為t=0）。此后，M、N板間電壓UMN按如圖乙所示變化，最后質(zhì)點(diǎn)剛好以平行于N板的速度從N板的右邊緣飛出。忽略平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)，重力加速度為g，問(wèn)：

（1）U0 和T0各多大？

（2）v0多大？

（3）圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B多大？

（4）若在圖乙中的t=時(shí)刻，將該質(zhì)點(diǎn)從兩板間的O3點(diǎn)沿中心線O3O1的方向以速率v0射入，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域后，MN間的電壓又恢復(fù)為+U0并保持不變，質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)圓形區(qū)域的邊界處記為P′，則P′點(diǎn)到P點(diǎn)的距離多大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）（4）2R

【解析】

(1)粒子自點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，必是水平飛出一定有：

得：

且?guī)щ娰|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的半徑必為

又

①

由圖象知：每個(gè)周期的前半周期，豎直方向的加速度滿足

得

，方向豎直向上

每個(gè)周期的后半周期，豎直方向的加速度滿足

得

方向豎直向下，

由上述結(jié)果及題意“質(zhì)點(diǎn)剛好以平行于板的速度從板的右邊緣飛出”，意味著飛出平行板的時(shí)間一定是周期的整數(shù)倍，即

豎直方向：

得

；

(2)水平方向：

得

（3）代入①得

（4）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以速度沿向左射入電場(chǎng)時(shí)，經(jīng)分析，則該質(zhì)點(diǎn)恰好從射入磁場(chǎng)，且進(jìn)入磁場(chǎng)的速度仍為，由于的電勢(shì)差又恢復(fù)為，質(zhì)點(diǎn)的重力和電場(chǎng)力平衡，在洛倫茲力作用下：運(yùn)動(dòng)的軌道半徑

經(jīng)圓軌道恰好到達(dá)圓的最高點(diǎn)（即點(diǎn)正上方的圓上），即