Question

2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一號”衛(wèi)星成功撞擊月球．“嫦娥一號”衛(wèi)星在北京航天飛行控制中心科技人員的精確控制下，15時(shí)36分，衛(wèi)星啟動發(fā)動機(jī)開始變軌，然后關(guān)閉發(fā)動機(jī)沿拋物線下落，16時(shí)13分10秒成功落在月球的豐富海區(qū)域．撞擊產(chǎn)生了高達(dá)10km的塵埃層，設(shè)塵埃在空中時(shí)只受到月球的引力．模擬撞擊實(shí)驗(yàn)顯示，塵埃能獲得的速度可達(dá)到衛(wèi)星撞擊前速度的11%；在衛(wèi)星變軌過程中，航天飛行控制中心還測得，衛(wèi)星在離月球表面高176km的圓軌道上運(yùn)行的周期為T₁=125min，在近月（高度不計(jì)）圓軌道上運(yùn)行的周期T₂=107.8min．計(jì)算時(shí)取

3

107.8

=4.76．試估算（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（1）月球半徑R和月球表面重力加速度g；
（2）空中塵埃層存在的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）衛(wèi)星繞月圓周運(yùn)動時(shí)，由月球的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律對衛(wèi)星在離月球表面高176km的圓軌道和近月軌道分別列式，聯(lián)立可求得R和g．
（2）上升最高的塵埃做豎直上拋運(yùn)動，根據(jù)位移公式和對稱性求空中塵埃層存在的時(shí)間．

解答：解：（1）衛(wèi)星繞月圓周運(yùn)動時(shí)，由月球的萬有引力提供向心力，則有
G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T 2 1

（R+h）①
G

Mm

R2

=m

4π2

T 2 2

R ②
由①、②得

(R+h)3

R3

=

T 2 1

T 2 2

 
解得R=1.7×10⁶m ③
 g=

4π2

T 2 2

R=1.6m/s²④
（2）上升最高的塵埃做豎直上拋運(yùn)動，因此由H=

1

2

g

t

2 下

 得
  t=2t_下=2

2H g

=2.2×10²s
答：
（1）月球半徑R和月球表面重力加速度g分別為1.7×10⁶m和1.6m/s²；
（2）空中塵埃層存在的時(shí)間是2.2×10²s．

點(diǎn)評：對于衛(wèi)星問題，建立模型，理清解題思路：萬有引力等于向心力是關(guān)鍵．