2009年龍巖市高中畢業(yè)班質量檢查

數(shù)學（理科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁. 全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

參考公式：

樣本數(shù)據x1，x2，…，xn的標準差：                   s=，其中為樣本平均數(shù)；

柱體體積公式：V=Sh  ，其中S為底面面積，h為高；

錐體體積公式：V=Sh，其中S為底面面積，h為高；

球的表面積、體積公式：，，其中R為球的半徑.

第I卷（選擇題   共50分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一

1. 已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)是

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A.               B.              C.                 D.

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2. 正項等比數(shù)列中，若，則等于

   A. -16               B. 10               C. 16               D. 256

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3. 已知隨機變量，若，則等于

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   A. 0.1                   B. 0.2              C. 0.3              Ｄ. 0.4

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4. 已知兩個向量a、b滿足ab =－，| a |=4，a和b的夾角為135°，則| b |為

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A. 12                    B. 3                    C. 6                    D.

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5. 若 ，且, 則實數(shù)的值為

Ａ. 1或3                 Ｂ. -3              C. 1                    Ｄ. 1或 -3

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6. 實數(shù)、滿足 則=的取值范圍是

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A. [－1,0]           B. －∞,0]         C. [－1,+∞       D. [－1,1

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7. 過拋物線的焦點作直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則等于

　 A．10                B．8                C．6                D．4

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8. 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為1，則的最大值為

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A．                B．              C．              D．

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9. 設函數(shù) 則函數(shù)的零點個數(shù)為

A.  4個              B.  3個             C.  2個             D.  1個

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10. 如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公方差.設數(shù)列是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將這種順序的排列作為某種密碼，則這種密碼的個數(shù)為

A.  18個             B.  256個           C.  512個           D.  1024個

第Ⅱ卷（非選擇題    共100分）

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二、填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置.

11. 假設關于某設備的使用年限和所支出的維修費（萬元），有如下的統(tǒng)計資料

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使用年限

2

3

4

5

6

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維修費用

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2.2

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3.8

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5.5

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6.5

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7.0

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若由資料可知和呈相關關系，由表中數(shù)據算出線性回歸方程中的=，據此估計，使用年限為10年時的維修費用是           萬元.

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（參考公式：，

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）

 

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12. 已知某算法的流程圖如圖所示，

則輸出的結果是_______________.

 

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13.  一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、側視圖、

俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長都為1，則它的

外接球的表面積是 　　　　　　　　　　　　　　.

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14. 設函數(shù)()，若，

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，則=         .

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15. 已知集合,

有下列命題

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①若　則.

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②若則.

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③若則的圖象關于原點對稱.

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④若則對于任意不等的實數(shù)，總有成立.

其中所有正確命題的序號是         .

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三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16. （本小題滿分13分）

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已知的三個內角、、所對的邊分別為、、,且，

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.

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（Ⅰ）求的值；

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（Ⅱ）當時，求函數(shù)的最大值.

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17.（本小題滿分13分）

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如圖，正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面

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互相垂直，，點分別為的中點.

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（Ⅰ）求證：∥平面；

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（Ⅱ）線段上是否存在一點，使與平面

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 所成角的正弦值為？若存在，請求出的

值；若不存在，請說明理由．

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18. （本小題滿分13分）

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某電腦生產企業(yè)生產一品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺. 當筆記本電腦銷售價為6000元/臺時，月銷售臺；根據市場分析的結果表明，如果筆記本電腦的銷售價提高的

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百分率為，那么月銷售量減少的百分率為.記銷售價提高的百分率為時，

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電腦企業(yè)的月利潤是（元）.

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（Ⅰ）寫出月利潤（元）與的函數(shù)關系式；

（Ⅱ）試確定筆記本電腦的銷售價，使得電腦企業(yè)的月利潤最大.

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19.（本小題滿分13分）


   

    
    

    
Q
個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點
構成等邊三角形.


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（Ⅰ）求橢圓的方程；


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（Ⅱ）過點(4,0)且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，設點關于軸的


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對稱點為.


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（?）求證：直線過軸上一定點，并求出此定點坐標；


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（?）求△面積的取值范圍.


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20.（本小題滿分14分）


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已知函數(shù).


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（Ⅰ）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；


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（Ⅱ）數(shù)列滿足：，且,記數(shù)列的前n項和為，


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且.


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（?）求數(shù)列的通項公式；并判斷是否仍為數(shù)列中的項？若是，請證明；否則，說明理由.


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（?）設為首項是,公差的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列中的項”的充要條件是“存在整數(shù)，使”.


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21. 本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換


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若點在矩陣     對應變換的作用下得到的點為，求矩陣的逆矩陣．
  （2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程


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已知曲線的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是參數(shù)），點是曲線上的動點，點是直線上的動點，求||的最小值．
（3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講


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已知實數(shù)滿足且的最大值是7，求的值．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2009年龍巖市高中畢業(yè)班質量檢查


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說明：
      一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.
    二、對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
    三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).
    四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分. 
1. A        2. C        3. C        4.C     5.D     6.D     7. B        8. D        9. B        10. C
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.
11.  12.38            12.  5           13.  3        
14.      15.
②③
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考
查學生的運算求解能力. 滿分13分.
解：（Ⅰ）由，知                
  ………………………（2分）
又，得， 
        
 ，                     
………………………（5分）
故                                 
  ………………………（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
        
 
                 
 ………………………………（9分）
        
，
        
當，即時，取得最大值為．   ……………（13分）                               

17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關系，線面角等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力.
滿分13分.
解：（Ⅰ）證明：如圖，取中點，連結，；
∥，∥，
又，，
，…………（3分）
四邊形為平行四邊形，
∥，
又平面，平面，
∥平面．                         
………………………（6分）
（Ⅱ）依題意知平面平面，，
平面，得   
又，.
如圖，以為原點，建立空間直角坐標系-xyz，

，可得、、，
.
設平面的一個法向量為， 
由   得 
解得，．            
………………………（9分）
設線段上存在一點，其中，則，
，
依題意：，即，
可得，解得（舍去）．  

            
所以上存在一點．   …………（13分）
18．本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題與解決問題的能力，
考查應用意識.
滿分13分.
    解：（Ⅰ）依題意，
銷售價提高后為6000（1+）元/臺，月銷售量為臺……………（2分）
則              
……………………（4分）
即．       ……………………（6分）
   （Ⅱ）
令，得，
解得舍去）．                   
  ……………………（9分）
當 當
當時，取得最大值．
此時銷售價為元．
答：筆記本電腦的銷售價為9000元時，電腦企業(yè)的月利潤最大．…………………（13分）
19．本題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.
滿分13分
解：（Ⅰ）因為橢圓的一個焦點是（1，0），所以半焦距=1.
因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.
所以，解得
所以橢圓的標準方程為.  …（4分）                

（Ⅱ）（i）設直線：與聯(lián)立并消去得：.
記，，
，
.  ……………（5分）
由A關于軸的對稱點為，得，
根據題設條件設定點為（，0），
得，即.
所以
即定點（1 ， 0）.                
……………………………………（8分）
（ii）由（i）中判別式，解得.     
可知直線過定點 (1,0).
所以   
　　　   ……………（10分）
得,  令
記，得，當時，.
在上為增函數(shù). 
所以 ，
得.
故△OA1B的面積取值范圍是.               
     ……………（13分）
20. 本題主要考查函數(shù)的單調性、等差數(shù)列、不等式等基本知識，考查運用合理的推理證明解
決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數(shù)學思想.
滿分14分.
解：（Ⅰ）因為，
所以.         
 ………………（1分）
（i）當時，.
（ii）當時，由，得到，知在上.
（iii）當時，由，得到，知在上.
綜上，當時，遞增區(qū)間為；當時, 遞增區(qū)間為.                  
………………………………………（4分）
（Ⅱ）（i）因為，
所以，即，
，即.     ……………………………………（6分）
因為，
當時，，
當時，，
所以.             
    …………………………（8分）
又因為，
所以令，則
得到與矛盾，所以不在數(shù)列中.    ………（9分）
（ii）充分性：若存在整數(shù)，使.
設為數(shù)列中不同的兩項，則
.
又且,所以.
即是數(shù)列的第項.           ……………………（10分）
必要性：若數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列中的項，
則，，（，為互不相同的正整數(shù)）
則，令，
得到 ，
所以，令整數(shù)，所以.　……（11 分）
下證整數(shù)
若設整數(shù)則.令，
由題設取使 
即，所以
即與相矛盾，所以.
綜上, 數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列中的項的充要條件是存在整數(shù)，使.                         
……………………（14分）
21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識，考查運算求解能力，
滿分7分.
解： ，即 ，
所以  得          
   ……………………（4分）
     即M=   ，由得 .
或 =1 ,  .           …………………（7分）
（2）本題主要考查圓極坐標方程和直線參數(shù)方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想.
滿分7分.
解：曲線的極坐標方程可化為,
其直角坐標方程為，即.      ……………（2分）
直線的方程為.
所以，圓心到直線的距離         
……………………（5分）
所以，的最小值為.                 
…………………………（７分）
（3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識，考查化歸與轉化思想.
滿分7分.
解：由柯西不等式：
. …………（3分）
因為
所以，即.  
因為的最大值是7,所以，得，
當時，取最大值，
所以.                       
  ………………………………………（7分）
 
 

				
	

		



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