湖北省2009屆高三八校聯(lián)考第二次

理科數(shù)學(xué)試卷

鄂南高中  黃岡中學(xué)  黃石二中  華師一附中    荊州中學(xué)   襄樊四中  襄樊五中   孝感高中                   命題人：襄樊五中 劉  軍 何宇飛

審題人：襄樊四中尹春明

考試時間：2009.3.27下午15：00～17：00

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1.  成立的充要條件是（    ）

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2.  設(shè)復(fù)數(shù)，（），若為實數(shù)，則等于（    ）

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3.  已知、是不共線的向量，，（、），則、、三點共線的充要條件是（    ）

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4.  設(shè)映射是實數(shù)集到實數(shù)集的映射，若對于實數(shù)，在中不存在原象，則的取值范圍是（    ）

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5.  等差數(shù)列中，是其前項和，，，則的值為（    ）

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6.  已知函數(shù)（）（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的反函數(shù)為，則有（    ）

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7.  要從名女生和名男生中選出名學(xué)生組成課外興趣小組，如果按性別依比例分層隨機抽樣，則組成此課外興趣小組的概率為（    ）

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8.  半徑為的球面上有、、三點，其中點與、兩點間的球面距離均為，、兩點間的球面距離均為，則球心到平面的距離為（    ）

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9.  已知函數(shù)（，）對定義域內(nèi)的任意，都滿足條件

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，若，，則有（    ）

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10. 已知，若方程的兩個實數(shù)根可以分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率，則（    ）

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二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

11. 設(shè)實數(shù)、滿足，則的取值范圍是__________.

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12. 設(shè)是的展開式中項的系數(shù)（、、、…），則

_____________.

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13. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，且滿足不等式，則的值為_____________.

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14. 在中，，以點為一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一個焦點在邊上，且這個橢圓過、兩點，則這個橢圓的焦距長為_____________.

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15. 設(shè)、、依次是的角、、所對的邊，若，且，則_____________.

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三、解答題（本大題共6小題，共75分）

16．（本小題滿分12分）

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已知向量，（，）.函數(shù)，

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的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為，且過點.

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（Ⅰ）求函數(shù)的表達式；

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（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

 

 

 

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17．（本小題滿分12分）

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在某社區(qū)舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是.

（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；

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（Ⅱ）用表示回答該題對的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

 

 

 

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18．（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱各棱長都為，為棱上的動點。

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（Ⅰ）試確定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大小；

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（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點到面的距離。

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19．（本小題滿分12分）

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已知函數(shù).

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（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

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（Ⅱ）若對滿足的任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍（這里是自然對數(shù)的底數(shù)）；

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（Ⅲ）求證：對任意正數(shù)、、、，恒有

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.

 

 

 

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20．（本小題滿分13分）

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如圖，已知曲線與拋物線的交點分別為、，曲線和拋物線在點處的切線分別為、，且、的斜率分別為、.

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（Ⅰ）當為定值時，求證為定值（與無關(guān)），并求出這個定值；

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（Ⅱ）若直線與軸的交點為，當取得最小值時，求曲線和的方程。

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

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已知數(shù)列中，，，其前項和滿足.令.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，求證：（）；（Ⅲ）令（），求同時滿足下列兩個條件的所有的值：①對于任意正整數(shù)，都有；②對于任意的，均存在，使得時，

 

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題 號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答 案

11. ；   12. ；   13．或或；    14.；     15．.

三、解答題（本大題共6小題，共75分）

16．（本小題滿分12分）

已知向量，（，）.函數(shù)，

的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為，且過點.

（Ⅰ）求函數(shù)的表達式；

（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

【解】（Ⅰ）

…………3′

由題意得周期，故.…………4′

又圖象過點，∴

即，而，∴，∴………6′

（Ⅱ）當時，

∴當時，即時，是減函數(shù)

當時，即時，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是…………12′

 

17．（本小題滿分12分）

在某社區(qū)舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是.

（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；

（Ⅱ）用表示回答該題對的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解】（Ⅰ）記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴，.…………6′

（Ⅱ）由（Ⅰ），.

的可能取值為：、、、.

則；

；

；

.…………9′

∴的分布列為

的數(shù)學(xué)期望.…………12′

 

18．（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱各棱長都為，為棱上的動點。

（Ⅰ）試確定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大��；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點到面的距離。

【法一】（Ⅰ）當時，作在上的射影. 連結(jié).

則平面，∴，∴是的中點，又，∴也是的中點，

即.  反之當時，取的中點，連接、.

∵為正三角形，∴.   由于為的中點時，

∵平面，∴平面，∴.……4′

（Ⅱ）當時，作在上的射影. 則底面.

作在上的射影，連結(jié)，則.

∴為二面角的平面角。

又∵，∴，∴.

∴，又∵，∴.

∴，∴的大小為.…8′

（Ⅲ）設(shè)到面的距離為，則，∵，∴平面,

∴即為點到平面的距離，

又，∴.

即，解得.即到面的距離為.……12′

【法二】以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，

為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設(shè)，則、、.

（Ⅰ）由得，

即，∴，即為的中點，

也即時，.…………4′

（Ⅱ）當時，點的坐標是.  取.

則，.

∴是平面的一個法向量。

又平面的一個法向量為.

∴，∴二面角的大小是.……8′

（Ⅲ）設(shè)到面的距離為，則，∴到面的距離為.…12′

19．（本小題滿分12分）

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）若對滿足的任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍（這里是自然對數(shù)的底數(shù)）；

（Ⅲ）求證：對任意正數(shù)、、、，恒有

.

【解】（Ⅰ）

∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為和.

極大值為，極小值為.…………4′

（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，時，的最大值為.

∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而…8′

（Ⅲ）設(shè)

則.

∴當時，，故在上是減函數(shù)，

又當、、、是正實數(shù)時，

∴.

由的單調(diào)性有：，

即.…………12′

 

20．（本小題滿分13分）

如圖，已知曲線與拋物線的交點分別為、，曲線和拋物線在點處的切線分別為、，且、的斜率分別為、.

（Ⅰ）當為定值時，求證為定值（與無關(guān)），并求出這個定值；

（Ⅱ）若直線與軸的交點為，當取得最小值時，求曲線和的方程。

【解】（Ⅰ）設(shè)點的坐標為，

由得：

則，∴…………2′

由得，∴ …………4′

∴

又∵，，∴.

∴

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