∠ACB=90⁰，AC=1，C點(diǎn)到AB₁的距離為CE=，D為AB的中點(diǎn).

（1）求證：AB­₁⊥平面CED；

（2）求異面直線AB₁與CD之間的距離；

【解】（1）∵D是AB中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁， ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE  ∴DE⊥AB₁

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

6．【江蘇?啟東中學(xué)】16．（本題滿分14分，第1問4分，第2問5分，第3問5分）

如下的三個(gè)圖中，分別是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖以及它的主視圖和左視圖（單位：cm）

（1）按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；

（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；

（3）在所給直觀圖中連結(jié)，證明：面．

【解】（1）如圖

------------4分

（2）所求多面體體積．--------9分

（3）證明：在長(zhǎng)方體中，

連結(jié)，則．

因?yàn)?sub>分別為，中點(diǎn)，所以--11分

從而．又平面，所以面． --------------14分

7．【江蘇?蘇北四市】16. (本題滿分14分)

如圖，已知空間四邊形中，，是的中點(diǎn)．

求證：（1）平面CDE；

（2）平面平面． 

（3）若G為的重心,試在線段AE上確定一點(diǎn)F,使得GF平面CDE．

【解】證明：（1）同理，

又∵       ∴平面．　　…………………5分

（2）由（1）有平面

又∵平面，    ∴平面平面．………………9分

（3）連接AG并延長(zhǎng)交CD于H，連接EH，則，

在AE上取點(diǎn)F使得，則，易知GF平面CDE．…………………14分

8．【江蘇?蘇北四市】4. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知。

（I）求證：平面；

（II）求到平面的距離；

（III）求二面角余弦值的大小。

【解】（I）如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)?sub>，

       所以，又平面，

       以為軸建立空間坐標(biāo)系，

       則，，，

，，

，，

，由，知，

       又，從而平面；

       （II）由，得。

       設(shè)平面的法向量為，，，所以

，設(shè)，則

       所以點(diǎn)到平面的距離。

       （III）再設(shè)平面的法向量為，，，

       所以

，設(shè)，則，

       故，根據(jù)法向量的方向，

       可知二面角的余弦值大小為

9．17．【江蘇?蘇州】（本小題滿分15分）

在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；

（Ⅱ）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求證CE∥平面PAB．

【解】（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

則V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，

∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．       ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

（Ⅲ）證法一：

取AD中點(diǎn)M，連EM，CM．則EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．   ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵M(jìn)C 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．  ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

證法二：

延長(zhǎng)DC、AB，設(shè)它們交于點(diǎn)N，連PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C為ND的中點(diǎn)．         ……12分

∵E為PD中點(diǎn)，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

10．【江蘇?泰州實(shí)驗(yàn)】16. (本題滿分14分)四棱錐中，底面為矩形，

側(cè)面底面，．

（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，證明：面；

（Ⅱ）證明：．

【解】 (1)取的中點(diǎn)為連可以證明

面面，   面…………………6分

（2）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，

，

，

又面面，

面，

．………………….10分

，

，

，即，

面，

．………………….14分

11．【江蘇?泰州實(shí)驗(yàn)】3.（本小題滿分10分）右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知,，．

（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；

（2）求二面角的大��；

【解】解法一：

（1）證明：作交于，連．

則．

因?yàn)?sub>是的中點(diǎn)，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．……………….5分

（2）如圖，過作截面面，分別交于．

作于，連．

因?yàn)?sub>面，所以，則平面．

又因?yàn)?sub>．

所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因?yàn)?sub>，所以，故，

即：所求二面角的大小為．……………….10分

解法二：

（1）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則因?yàn)?sub>是的中點(diǎn)，所以，

．

易知，是平面的一個(gè)法向量．

因?yàn)?sub>平面，

所以平面．……………….5分

（2），

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

則得：

取．

顯然，為平面的一個(gè)法向量．

則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．……………….10分

12．【江蘇?泰州】16、如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，、分別為、的

中點(diǎn)．

（1）求證：//平面；

（2）求證：；

（3）求三棱錐的體積．

【解】證明：（1）連結(jié)，在中，、分別為，的中點(diǎn)，則

（2）

（3）

     且 

，

∴   即    

=

= 

13．【江蘇?鹽城】16. (本小題滿分14分)

如圖,在四棱錐中,側(cè)面底面,側(cè)棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一點(diǎn).

(Ⅰ)若,試指出點(diǎn)的位置；

 (Ⅱ)求證:.

【解】 (Ⅰ)解:因?yàn)?sub>,,且,

所以………………………………………………………(4分)

   又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………………………(6分)

   而,故點(diǎn)的位置滿足…………………………………………………(7分)

(Ⅱ)證: 因?yàn)閭?cè)面底面,,且,

所以,則………………………………………(10分)

   又,且,所以 ………(13分)

   而,所以………………………(14分)

14．【江蘇?鹽城】22．（本小題滿分10分）

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；

（Ⅱ）求二面角A―PB―D的余弦值.

【解】 解:以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，…(2分)

（Ⅰ）設(shè)平面PDB的法向量為,

    由,

     所以=………………………………(5分)

  （Ⅱ）設(shè)平面ABP的法向量，，

     ,，

     ,而所求的二面角與互補(bǔ),

所以二面角A―PB―D的余弦值為………………………………………(10分)

15．【江蘇?常州】16.（14分）如圖，在組合體中，是一個(gè)長(zhǎng)方體，是一個(gè)四棱錐，

，點(diǎn)平面且

（1）      證明：平面；    

（2）      證明：平面。

【解】（略）