絕密★啟用前
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)(文史類)(北京卷)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至9頁,共150分,考試時間120分鐘。考試結(jié)束,將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
注意事項:
1. 答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2. 每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡頗擦干凈后,再選涂其他答案。不能答在試卷上。
一、題共8小題,第小題5分,共40分。在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。
(2)若a=log, π,b=log,6,c=log20.8,則
(A)a>b>c (B)b>a>c
(C)c>a>b (D)b>c>a
(3)“雙黃線的方程為”是“雙曲線的準線方程為x=”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)即不充分也不必要條件
(4)已知△ABC中,a=,b=,B=60°,那么角A等于
(A)135° (B)90° (C)45° (D)30°
(5)函數(shù)f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函數(shù)為
(A)f--1(x)=1+(x>1) (B)f--1(x)=1-(x>1)
(A)f--1(x)=1+(x≥1) (A)f--1(x)=1-(x≥1)
(C) 1 (D)2
(7)已知等差數(shù)列{an}中,a2=6,a5=15.若bn=a2n,則數(shù)列{bn}的前5項和等于
(A)30 (B)45
(C)90 (D)186
(8)如圖,動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上,過點P作垂直平面BB1D1D的直線,與正方體表面相交于M、N.設(shè)BP=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是
絕密★使用完畢前
2008年普通高等學(xué)校校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)(文史類)(北京卷)
第Ⅱ卷(共110分)
注意事項:
1. 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2. 答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。
題號
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
分數(shù)
得分
評分人
(9)若角α的終邊經(jīng)過點P(1,-2),則tan 2α的值為 .
(10)不等式的解集是 .
(11)已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=|b|=4,那么a?b的值為 .
(12)若展開式的各項數(shù)之和為 ; 各項系數(shù)之和為 .(用數(shù)字作答)
(13)如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(0))= ; 函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)= .
(14)已知函數(shù)f(x)=x2=-cos x,對于[-]上的任意x1,x2,有如下條件:
① x1>x2; ②x21>x22; ③|x1|>x2.
其中能使f(x1)> f(x2)恒成立的條件序號是 .
得 分
評分人
(15)(本小題共13分)
已知函數(shù)的最小正周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的取值范圍.
得 分
評分人
(16)(本小題共14分)
如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(Ⅰ)求證:PC⊥AB;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小.
得 分
評分人
(17)(本小題共13分)
已知函數(shù)是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a,c的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
得 分
評分人
(18)(本小題共13分)
甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到A,B,C,D四個不同的崗位服務(wù),每個崗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率;
(Ⅱ)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率.
得 分
評分人
(19)(本小題共14分)
已知△ABC的頂點A,B在橢圓上,C在直線l:y=x+2上,且AB∥l.
(Ⅰ)當(dāng)AB邊通過坐標原點O時,求AB的長及△ABC的面積;
(Ⅱ)當(dāng)∠ABC=90°,且斜邊AC的長最大時,求AB所在直線的方程.
得 分
評分人
(20)(本小題共13分)
數(shù)列{an}滿足
(Ⅰ)當(dāng)a2=-1時,求λ及a3的值;
(Ⅱ)數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列?若可能,求出它的通項公式;若不可能,說明理由;
三、解答題:本大題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫出文字說明。演算步驟或證明過程。
(Ⅲ)求λ的取值范圍,使得存在正整數(shù)m,當(dāng)n>m時總有an<0.
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
北京文數(shù)全解全析
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3
至9頁,共150分.考試時間120分鐘.考試結(jié)束,將本試卷和答題卡一并交回.
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
注意事項:
1.答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上.
2.每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動,
用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.不能答在試卷上.
選出符合題目要求的一項.
1.若集合,,則集合等于( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
一、本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,
2.若,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用中間值0和1來比較:
3.“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準線方程為”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準線方程為”
“” “”,如反例: .
4.已知中,,,,那么角等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理得:
5.函數(shù)的反函數(shù)為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
所以反函數(shù)為
6.若實數(shù)滿足則的最小值是( )
A.0 B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】本小題主要考查線性規(guī)劃問題。作圖(略)易知可行域為一個三角形,其三個
頂點分別為,驗證知在點時取得最小值0.
7.已知等差數(shù)列中,,,若,則數(shù)列的前5項和等于( )
A.30 B.45 C.90 D.186
【答案】 C
【解析】由,
所以
8.如圖,動點在正方體的對角線上,過點作垂直于平面的直線,與正方體表面相交于.設(shè),,則函數(shù)的圖象大致是( )
【答案】B
【解析】取的中點E, 的中點F,連EF,則在平面內(nèi)平行移動且當(dāng)P移動到的中心時,MN有唯一的最大值,排除答案A、C;當(dāng)P點移動時,由于總保持所以x與y的關(guān)系是線性的(例如: 取當(dāng)時,
同理,當(dāng)時,有 )
排除答案D,故選B.
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.
9.若角的終邊經(jīng)過點,則的值為 .
【答案】
【解析】
10.不等式的解集是 .
【答案】
【解析】
11.已知向量與的夾角為,且,那么的值為 .
【答案】
【解析】
12.的展開式中常數(shù)項為 ;各項系數(shù)之和為 .(用數(shù)字作答)
【答案】10 32
【解析】由得故展開式中常數(shù)項為
取即得各項系數(shù)之和為
的坐標分別為,則 ;
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) .
【答案】2 -2
【解析】
14.已知函數(shù),對于上的任意,有如下條件:
①; ②; ③.
其中能使恒成立的條件序號是 .
【答案】②
【解析】函數(shù)為偶函數(shù),則
在區(qū)間上, 函數(shù)為增函數(shù),
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.
15.(本小題共13分)
已知函數(shù)()的最小正周期為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.
15.(共13分)
解:(Ⅰ)
.
因為函數(shù)的最小正周期為,且,所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因為,所以,所以.
因此,即的取值范圍為.
16.(本小題共14分)
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的大。
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ)取中點,連結(jié).
,.
,平面.
平面,.
(Ⅱ),,
.
又,即,且,
平面.
取中點.連結(jié).
,.
是在平面內(nèi)的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.二面角的大小為.
解法二:
(Ⅰ),,.
又,.,平面.
平面,.
則.
設(shè).,
,.
取中點,連結(jié).
,,,.
是二面角的平面角.
,,,
.二面角的大小為.
17.(本小題共13分)
已知函數(shù),且是奇函數(shù).
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
17.(共13分)
解:(Ⅰ)因為函數(shù)為奇函數(shù),
所以,對任意的,,即.
又所以.
所以解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.所以.
當(dāng)時,由得.變化時,的變化情況如下表:
0
0
所以,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
18.(本小題共13分)
甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務(wù),每個崗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率;
(Ⅱ)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率.
18.(共13分)
解:(Ⅰ)記甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)為事件,那么,
即甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率是.
(Ⅱ)設(shè)甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件,那么,
所以,甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是.
19.(本小題共14分)
已知的頂點在橢圓上,在直線上,且.
(Ⅰ)當(dāng)邊通過坐標原點時,求的長及的面積;
(Ⅱ)當(dāng),且斜邊的長最大時,求所在直線的方程.
19.(共14分)
解:(Ⅰ)因為,且邊通過點,所以所在直線的方程為.
設(shè)兩點坐標分別為.
由 得.
所以.
又因為邊上的高等于原點到直線的距離.
所以,.
(Ⅱ)設(shè)所在直線的方程為,
由得.
因為在橢圓上,
所以.
設(shè)兩點坐標分別為,
則,,
所以.
又因為的長等于點到直線的距離,即.
所以.
所以當(dāng)時,邊最長,(這時)
此時所在直線的方程為.
20.(本小題共13分)
數(shù)列滿足,(),是常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求及的值;
(Ⅱ)數(shù)列是否可能為等差數(shù)列?若可能,求出它的通項公式;若不可能,說明理由;
(Ⅲ)求的取值范圍,使得存在正整數(shù),當(dāng)時總有.
解:(Ⅰ)由于,且.
所以當(dāng)時,得,故.
從而.
(Ⅱ)數(shù)列不可能為等差數(shù)列,證明如下:由,
若存在,使為等差數(shù)列,則,即,
解得.于是,.
這與為等差數(shù)列矛盾.所以,對任意,都不可能是等差數(shù)列.
(Ⅲ)記,根據(jù)題意可知,且,即
且,這時總存在,滿足:當(dāng)時,;
當(dāng)時,.所以由及可知,若為偶數(shù),
則,從而當(dāng)時,;若為奇數(shù),則,
從而當(dāng)時.因此“存在,當(dāng)時總有”
的充分必要條件是:為偶數(shù),
記,則滿足.
故的取值范圍是.
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