浙江省臺州市2009屆高三第二次調考試卷(數學理)     2009.4

 

命題:陳傳熙(玉環(huán)縣玉城中學)   許彪(臺州中學) 

審卷:李繼選(臺州一中) 

注意:本卷考試時間120分鐘,請考生將所有題目都做在答題卷上.

參考公式:

如果事件互斥,那么                     棱柱的體積公式

                        

如果事件,相互獨立,那么                 其中表示棱柱的底面積,表示棱柱的高

                          棱錐的體積公式

次獨立重復試驗中事件恰好              

發(fā)生次的概率是,               其中表示棱錐的底面積,表示棱錐的高

其中表示在一次試驗中事件發(fā)生的概率       棱臺的體積公式

球的表面積公式                       

球的體積公式                         其中分別表示棱臺的上底、下底面積,

 其中表示球的半徑                           表示棱臺的高

 

一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.若集合,,則集合不可能

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(A)           (B)          (C)        (D)

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2.在的展開式中,常數項為

(A)-28                     (B)-70                  (C)70                      (D)28

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3.已知兩條不同的直線與三個不同的平面,,滿足, ,,那么必有

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(A),                                        (B),

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(C),                                        (D)

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4.在等比數列中,,,,則

(A)16             (B)27                        (C)36            (D)81

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5.已知均為實數,則“”是“關于一元二次不等式的解集為”的

(A)充分不必要條件                                      (B)必要不充分條件

(C)充分必要條件                                          (D)既不充分也不必要條件

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6.在一張矩形紙片上,畫有一個圓(圓心為O)和一個定點F(F在圓外).在圓上任取一點M,將紙片折疊使M與點F重合,得到折痕CD.設直線CD與直線OM交于點P,則點P的軌跡為

(A)雙曲線         (B)橢圓         (C)圓            (D)拋物線

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7.若對,,使成立,則

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(A)             (B)          (C)          (D)

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8.如圖,一個空間幾何體的正視圖、側視圖都是面積為,且一個內角為的菱形,俯視圖為正方形,那么這個幾何體的表面積為

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(A)                   

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(B)

(C)4                          

(D)8

 

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9.將三個分別標有A,B,C的小球隨機地放入編號分別為1,2,3,4的四個盒子中,則第1號盒子內有球的不同放法的總數為

(A)27             (B)37            (C)64            (D)81

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10.已知向量,,滿足,,?.若對每一確定的,的最大值和最小值分別為, , 則對任意,的最小值是

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(A)             (B)            (C)            (D)1

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二.填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分.

11.已知復數,則  ▲  

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12.某路段屬于限速路段,規(guī)定通過該路段的汽車時速不得超過,否則視為違規(guī)扣分.某天,有1000輛汽車經過了該路段,經過雷達測速得到這些汽車運行時速的頻率分布直方圖如圖所示,則違規(guī)扣分的汽車大約為  ▲  輛.

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13.已知等差數列的前項和為,且過點的直線的斜率是4,若,則  ▲ 

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14.某個缺水地區(qū)為了提倡居民節(jié)約用水和控制用水浪費現象,實行了水費的分段計價,其計價的流程如圖所示.其中輸入為居民每月的用水量(單位:噸),輸出為相應的水費(單位:元).已知某戶居民某月用水量為噸,則該戶居民用水超過20噸的部分應繳納的水費為  ▲ 

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15.已知向量,其中為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點數,則的夾角能成為直角三角形的內角的概率是  ▲ 

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16.若是定義在R上的奇函數,且當時,;當時,.則函數的零點有  ▲  個.

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17.已知點,如果直線經過點,那么實數的取值范圍是  ▲ 

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三.解答題:本大題共5小題,共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.(本小題滿分14分)

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已知函數

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(Ⅰ)求函數的單調遞增區(qū)間;

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(Ⅱ)已知,且,求的值.

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19.(本小題滿分14分)

一袋子中有大小、質量均相同的10個小球,其中標記“開”字的小球有5個,標記“心”字的小球有3個,標記“樂”字的小球有2個.從中任意摸出1個球確定標記后放回袋中,再從中任取1個球.不斷重復以上操作,最多取3次,并規(guī)定若取出“樂”字球,則停止摸球.求:

(Ⅰ)恰好摸到2個“心”字球的概率;

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(Ⅱ)摸球次數的概率分布列和數學期望.

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20.(本小題滿分14分)

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 如圖,在三棱柱中,,頂點

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底面上的射影恰為B點,且

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(Ⅰ)分別求出與底面,棱BC所成的角;

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(Ⅱ)在棱上確定一點P,使,并求出

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二面角的平面角的余弦值.

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21.(本小題滿分15分)

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已知橢圓的離心率為,橢圓上的點到焦點的最小距離為1.

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(Ⅰ)求橢圓的方程;

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(Ⅱ)若直線與橢圓交于兩點,且為坐標原點),點.試求點的軌跡方程.

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22.(本小題滿分15分)

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已知函數,,其中無理數

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    (Ⅰ)若,求證:;

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(Ⅱ)若在其定義域內是單調函數,求的取值范圍;

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(Ⅲ)對于區(qū)間(1,2)中的任意常數,是否存在使成立?若

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存在,求出符合條件的一個;否則,說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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數   學(理科)    2009.4

一、選擇題:本大題共有10小題,每小題5分,共50分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

B

B

A

C

C

B

B

二、填空題:本大題共有7小題,每小題4分,共28分.

11. 1   12. 110   13. 78   14.  15.  16. 7   17.

三.解答題:本大題共5小題,共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.(Ⅰ)解:.……………………… 4分

,解得

所以函數的單調遞增區(qū)間為 .…………… 7分

(Ⅱ)解:由,得.故.……………… 10分

于是有 ,或,

.因,故.……………… 14分

19.(Ⅰ)解:恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形:

開心心,心開心,心心開,心心樂.

則恰好摸到2個“心”字球的概率是

.………………………………………6分

(Ⅱ)解:

,

.…………………………………………10分

故取球次數的分布列為

1

2

3

.…………………………………………………14分

20.(Ⅰ)解:因在底面上的射影恰為B點,則⊥底面

所以就是與底面所成的角.

,故 ,

與底面所成的角是.……………………………………………3分

如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,則

,

與棱BC所成的角是.…………………………………………………7分

(Ⅱ)解:設,則.于是

舍去),

則P為棱的中點,其坐標為.…………………………………………9分

設平面的法向量為,則

,故.…………………11分

而平面的法向量是

,

故二面角的平面角的余弦值是.………………………………14分

21.(Ⅰ)解:由題意知:,,解得

故橢圓的方程為.…………………………………………………5分

   (Ⅱ)解:設,

⑴若軸,可設,因,則

,得,即

軸,可設,同理可得.……………………7分

⑵當直線的斜率存在且不為0時,設,

,消去得:

.………………………………………9分

,知

,即(記為①).…………11分

,可知直線的方程為

聯(lián)立方程組,得 (記為②).……………………13分

將②代入①,化簡得

綜合⑴、⑵,可知點的軌跡方程為.………………………15分

22.(Ⅰ)證明:當時,.令,則

,遞增;若遞減,

的極(最)大值點.于是

,即.故當時,有.………5分

(Ⅱ)解:對求導,得

①若,則上單調遞減,故合題意.

②若,

則必須,故當時,上單調遞增.

③若的對稱軸,則必須

故當時,上單調遞減.

綜合上述,的取值范圍是.………………………………10分

(Ⅲ)解:令.則問題等價于

        找一個使成立,故只需滿足函數的最小值即可.

        因,

故當時,,遞減;當時,遞增.

于是,

與上述要求相矛盾,故不存在符合條件的.……………………15分

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