(本小題滿分14分) 已知函數及正整數數列. 若,且當時,有; 又,,且對任意恒成立. 數列滿足:.

(1) 求數列及的通項公式;

(2) 求數列的前項和；

(3) 證明存在，使得對任意均成立．

(本小題滿分14分)

已知函數，在定義域內有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數列的前項和.

（I）求數列的通項公式；

（II）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數，令（n為正整數），求數列的變號數；

（Ⅲ）設（且），使不等式

 恒成立，求正整數的最大值．

（本題滿分14分）

已知二次函數+的圖象通過原點，對稱軸為，.是的導函數，且 .

（1）求的表達式（含有字母）；

（2）若數列滿足，且，求數列的通項公式；

（3）在（2）條件下，若，，是否存在自然數,使得當時恒成立?若存在,求出最小的；若不存在,說明理由.

（本題滿分14分）

已知函數，，

（Ⅰ）當時，若在上單調遞增，求的取值范圍；

（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實數對：當是整數時，存在，使得是的最大值，是的最小值；

（Ⅲ）對滿足（Ⅱ）的條件的一個實數對，試構造一個定義在，且上的函數，使當時，，當時，取得最大值的自變量的值構成以為首項的等差數列。