(Ⅱ) 在曲線上有兩點.橢圓上有兩點.滿足與共線.與共線.且.求四邊形面積的最小值． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設橢圓C1：(a>b>0)與雙曲線C2：在第一象限只有一個公共點P，

(1)試用b表示P點的坐標；

(2)設F1、F2是橢圓C1的兩個焦點，求面積S的最大值及此時b的取值；

(3)在雙曲線C2上是否存在點Q，使？若不存在，說明理由；若存在，求出b的取值范圍．

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已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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已知橢圓
x2
a2
+
y2
2
=1（a＞
2
）的離心率為
2
2
，雙曲線C與該橢圓有相同的焦點，其兩條漸近線與以點（0，
2
）為圓心，1為半徑的圓相切．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線l經(jīng)過點M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

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已知橢圓C1的中心和拋物線C2的頂點都在原點，且兩曲線的焦點均在x軸上，若A（1，2），B（2，0），C(
2
，
2
2
)中有兩點在橢圓C1上，另一點在拋物線C2上．
（Ⅰ）求橢圓C1和拋物線C2的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C1交于M，N兩點，與拋物線C2交于P，Q兩點．問是否存在直線l使得以線段MN為直徑的圓和以線段PQ為直徑的圓都過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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已知橢圓C1的中心在原點，離心率為
4
5
，焦點在x軸上且長軸長為10．過雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)右焦點F2作垂直于x軸的直線交雙曲線C2于M、N兩點．
（I）求橢圓C1的標準方程；
（II）若雙曲線C2與橢圓C1有公共的焦點，且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A，求雙曲線C2的標準方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C2的左支有交點，求雙曲線C2的離心率的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．  A      2． B       3． C       4． A         5．B

6．  D      7． A       8． C       9． D         10．C

 

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．

11．       12．   13．24     14．

15．168              16．①②③      17．1：（-6）：5：（-8）

 

三、解答題：本大題共6小題，共74分．

18．解：(Ⅰ)由

                                         ---------4分

由，得

即

則，即為鈍角，故為銳角，且

則

故．                                     ---------8分

(Ⅱ)設，

由余弦定理得

解得

故．                        ---------14分

19．解：（1）      --------4分

（2）x可能取的所有值有2,3,4                           --------5分

      

                    --------8分

∴x的分布列為：

∴Ex=                    --------10分

（3）當時，取出的3張卡片上的數(shù)字為1,2,2或1,2,3

當取出的卡片上的數(shù)字為1,2,2或1,2,3的概率為，

∴                             --------14分

 

20．解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，

∴EF⊥平面BDN，

∴平面BDN⊥平面BCEF，

又因為BN為平面BDN與平面BCEF的交線，

∴D在平面BCEF上的射影在直線BN上

而D在平面BCEF上的射影在BC上，

∴D在平面BCEF上的射影即為點B，即BD⊥平面BCEF. 　　--------4分

（Ⅱ）法一．如圖，建立空間直角坐標系，

∵在原圖中AB=6，∠DAB=60°，

則BN=，DN=，∴折后圖中BD=3，BC=3

∴，

∴

 

∴

∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為.　　　　　--------９分

法二．在線段BC上取點M，使BM=FN，則MN//BF

∴∠DNM或其補角為DN與BF所成角。

又MN=BF=2，    DM=，。

∴

∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為。

（Ⅲ）∵AD//EF，

∴A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，

∴

即所求三棱錐的體積為.　　　　　　　　　　　　　　　--------14分

21．解：(Ⅰ)(?)由已知可得，

則所求橢圓方程.　　　　　　　　　　--------3分

(?)由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為，準線方程為，則動圓圓心軌跡方程為.     --------6分

 (Ⅱ)當直線MN的斜率不存在時，|MN|=4，

此時PQ的長即為橢圓長軸長，|PQ|=4，

從而.            --------8分

設直線的斜率為，則,直線的方程為：

直線PQ的方程為，

設

由，消去可得

由拋物線定義可知：

 ----10分

由，消去得，

從而，             --------12分

∴

令，

∵k>0，則

則

所以                       --------14分

所以四邊形面積的最小值為8.                    --------15分

22．解：（Ⅰ）

∵為的極值點，∴

∴且

∴.

又當時，，從而為的極值點成立。

                                                  --------4分

（Ⅱ）因為在上為增函數(shù)，

所以在上恒成立.    --------6分

若，則，

∴在上為增函數(shù)不成立；

若，由對恒成立知。

所以對上恒成立。

令，其對稱軸為，

因為，所以，從而在上為增函數(shù)。

所以只要即可，即

所以

又因為，所以．                    --------10分

（Ⅲ）若時，方程

可得

即在上有解

即求函數(shù)的值域．

法一：

令

由

∵

∴當時，，從而在(0,1)上為增函數(shù)；

當時，，從而在(1，+∞)上為減函數(shù)。

∴，而可以無窮小。

∴的取值范圍為.                               --------15分

法二：

當時，，所以在上遞增；

當時，，所以在上遞減；

又，∴令，.

∴當時，，所以在上遞減；

當時，，所以在上遞增；

當時，，所以在上遞減；

又當時，，

當時, ,則，且

所以的取值范圍為.                              --------15

 


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