在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，a₂²=a₁•a₄，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）解不等式：，求正整數(shù)m，n的值；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b_n+1=b_n²-a_n•b_n+1，求證：．

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，.（Ⅰ）求a_n 與b_n；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n.

【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和的運(yùn)用。第一問中，利用等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項(xiàng)公式故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.     第二問中，，由第一問中知道，然后利用裂項(xiàng)求和得到T_n.

解： (Ⅰ) 設(shè)：{a_n}的公差為d,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120143914538050_ST.files/image003.png">解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120143914538050_ST.files/image004.png">……………8分

 

已知等差數(shù)列{a_n}的公差是d，S_n是該數(shù)列的前n項(xiàng)和、
（1）試用d，S_m，S_n表示S_m+n，其中m，n均為正整數(shù)；
（2）利用（1）的結(jié)論求解：“已知S_m=S_n（m≠n），求S_m+n”；
（3）若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，試類比問題（1）的結(jié)論，寫出一個(gè)相應(yīng)的結(jié)論且給出證明，并利用此結(jié)論求解問題：“已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}，其中S₁₀=5，S₂₀=15，求數(shù)列{b_n}的前50項(xiàng)和S₅₀．”

已知等差數(shù)列滿足：

（1）是否存在常數(shù)，使得請(qǐng)對(duì)你的結(jié)論作出正確的解釋或證明；

（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若是數(shù)列中的最小項(xiàng)，求首項(xiàng)的取值范圍。