(2)反之.當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形.菱形時(shí).相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿(mǎn)足怎樣的條件?解: 15． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

24、如圖，過(guò)四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線(xiàn)AC、BD的平行線(xiàn)，所圍成的四邊形EFGH顯然是平行四邊形．
（1）當(dāng)四邊形ABCD分別是菱形、矩形、等腰梯形時(shí)，相應(yīng)的平行四邊形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請(qǐng)將你的結(jié)論填入下表：
四邊形ABCD 菱形 矩形 等腰梯形
平行四邊形EFGH
（2）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿(mǎn)足的條件填寫(xiě)到下表：
平行四邊形EFGH 菱形 矩形
四邊形ABCD應(yīng)滿(mǎn)足的條件    

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25、如圖，過(guò)四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線(xiàn)AC、BD的平行線(xiàn)，所圍成的四邊形EFGH顯然是平行四邊形．

（1）當(dāng)四邊形ABCD分別是菱形、矩形、等腰梯形時(shí)，相應(yīng)的平行四邊形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請(qǐng)將你的結(jié)論填入下表：
（2）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿(mǎn)足怎樣的條件？

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25、如圖，任意四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O點(diǎn)，過(guò)各頂點(diǎn)分別作對(duì)角線(xiàn)AC、BD的平行線(xiàn)，四條平行線(xiàn)圍成一個(gè)四邊形EFGH．試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時(shí)，四邊形EFGH的形狀會(huì)有哪些變化？完成以下題目：
（1）當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為
平行四邊形
；
當(dāng)ABCD為矩形時(shí)，EFGH為
菱形
；
當(dāng)ABCD為菱形時(shí)，EFGH為
矩形
；
當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，EFGH為
正方形
；
當(dāng)EFGH是矩形時(shí)，ABCD為
對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形
；
當(dāng)EFGH是菱形時(shí)，ABCD為
對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形
；
當(dāng)EFGH是正方形時(shí)，ABCD為
對(duì)角線(xiàn)相等且垂直的四邊形
．
（2）請(qǐng)選擇（1）中任意一個(gè)你所寫(xiě)的結(jié)論進(jìn)行證明．
（3）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿(mǎn)足怎樣的條件？

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如圖，任意四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O點(diǎn)，過(guò)各頂點(diǎn)分別作對(duì)角線(xiàn)AC、BD的平行線(xiàn)，四條平行線(xiàn)圍成一個(gè)四邊形EFGH.試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時(shí)，四邊形EFGH的形狀會(huì)有哪些變化？完成以下題目：

  （1）當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；

  當(dāng)ABCD為矩形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；

  當(dāng)ABCD為菱形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；

  當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；

  當(dāng)EFGH是矩形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________；

  當(dāng)EFGH是菱形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________；

  當(dāng)EFGH是正方形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________.

  （2）請(qǐng)選擇（1）中任意一個(gè)你所寫(xiě)的結(jié)論進(jìn)行證明.

   （3）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿(mǎn)足怎樣的條件？

 

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如圖，任意四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O點(diǎn)，過(guò)各頂點(diǎn)分別作對(duì)角線(xiàn)AC、BD的平行線(xiàn)，四條平行線(xiàn)圍成一個(gè)四邊形EFGH.試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時(shí)，四邊形EFGH的形狀會(huì)有哪些變化？完成以下題目：

（1）當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；
當(dāng)ABCD為矩形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；
當(dāng)ABCD為菱形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；
當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；
當(dāng)EFGH是矩形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________；
當(dāng)EFGH是菱形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________；
當(dāng)EFGH是正方形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________.
（2）請(qǐng)選擇（1）中任意一個(gè)你所寫(xiě)的結(jié)論進(jìn)行證明.
（3）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿(mǎn)足怎樣的條件？

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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12           

二、選擇題：

1．C

 

2．C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C   

18．D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因?yàn)锳D∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過(guò)點(diǎn)B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因?yàn)椤螪AB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．            

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當(dāng)∠DAB = 90°時(shí)，菱形ABCD為正方形，周長(zhǎng)最小值為8；---------------------------8分

② 當(dāng)AC為矩形紙片的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，設(shè)AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長(zhǎng)最大值為17．-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2．證明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

              證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　    由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5．（本題滿(mǎn)分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF．                                     …………………………4分

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      2. <progress id="4l9fi"><wbr id="4l9fi"></wbr></progress>
      3. 
   
      
    
    
      
    
      圖②
       
       
       
       
       
       
      方法二：如圖②,延長(zhǎng)BC、AE相交于點(diǎn)P      
      ∵在□ABCD中，AD∥BC
      ∴∠DAP＝∠APB                                             
 …………………………1分
      ∵AE平分∠DAB
      ∴∠DAP＝∠PAB          
                                    …………………………2分
      ∴∠APB＝∠PAB
      ∴AB＝BP                                                             
     ………………………3分
      ∵BF平分∠ABP
      ∴:AP⊥BF
      即AE⊥BF．                            
                               ………………………4分
      (2)方法一：線(xiàn)段DF與CE是相等關(guān)系，即DF＝CE      ………………5分
      ∵在□ABCD中，CD∥AB
      ∴∠DEA＝∠EAB
      又∵AE平分∠DAB
      ∴∠DAE＝∠EAB
      ∴∠DEA＝∠DAE
      ∴DE＝AD                                         ………………………6分
      同理可得，CF＝BC                               ………………………7分
      又∵在□ABCD中，AD＝BC
      ∴DE＝CF
      ∴DE－EF＝CF－EF
      即DF＝CE．                                        
………………………8分
      方法二：如右圖,延長(zhǎng)BC、AE設(shè)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AD、BF相交于點(diǎn)O       …5分
      ∵在□ABCD中，AD∥BC
      ∴∠DAP＝∠APB                                              
    
      ∵AE平分∠DAB
      ∴∠DAP＝∠PAB                                             
    
      ∴∠APB＝∠PAB
      ∴BP＝AB 
      同理可得，AO＝AB                 

         
∴AO＝BP                                   ………………………6分
              ∵在□ABCD中，AD＝BC
              ∴OD＝PC
       又∵在□ABCD中，DC∥AB
             ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分
             ∴＝，＝
            
∴DF＝CE．                                        
                            ………………………8分
       
      6.　（1）（2）略　　�。�3）設(shè)BC=x，則DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x
      GD2=GE?GB=4－2     
DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）
      （4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面積是4個(gè)平方單位
       
       
      7．（本小題滿(mǎn)分5分）
      證明：∵  AB∥CD
      ∴                …………1分
      ∵  
      ∴  △ABO≌△CDO                
…………3分
      ∴                      …………4分
      ∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分
       
       
       
       
       
      11．證明：（1）①在和中，
      ，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      ．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
      ②，
      ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
      ，
       
      12．（本題7分）
      解：（1）在梯形中，，
      ，，
      ，
      ．
      ，
      ，
      ．
      ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      ．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
      ，，
      ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
      與的函數(shù)表達(dá)式是
      ；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
      （2）
      ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
      當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
       
       
       
      13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分
      分別是的中點(diǎn)，
      ．?????????????????? 3分
      又，．????????????????? 5分
      ．??????????????????????????????? 7分
      14.

      15．證明：四邊形是平行四邊形，，．
      ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
      平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
      ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
      又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
       
      16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      ②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
      （2）不合理．例如，對(duì)兩個(gè)相似而不全等的矩形來(lái)說(shuō)，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當(dāng)時(shí)，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
      17．解：（1）正方形中，，．
      又，因此，即菱形的邊長(zhǎng)為．
      在和中，，
      ，，
      ．．
      ，，
      ，即菱形是正方形．
      同理可以證明．
      因此，即點(diǎn)在邊上，同時(shí)可得，
      從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
      （2）作，為垂足，連結(jié)，
      ，，
      ，．
      ．
      在和中，，，
      ．
      ，即無(wú)論菱形如何變化，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離始終為定值2．
      因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
      （3）若，由，得，此時(shí)，在中，．
      相應(yīng)地，在中，，即點(diǎn)已經(jīng)不在邊上．
      故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
      另法：由于點(diǎn)在邊上，因此菱形的邊長(zhǎng)至少為，
      當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為4時(shí)，點(diǎn)在邊上且滿(mǎn)足，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)逐漸向右運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)（即菱形的邊長(zhǎng)）將逐漸變大，最大值為．
      此時(shí)，，故．
      而函數(shù)的值隨著的增大而減小，
      因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
      又因?yàn)?sub>，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分
      18.
      19．證明：在等腰中，，．
      　　　　　，，．又，
      　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
      　　　　　．．
      　　　　　．．．?????????????????? 5分
      　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分
      　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
       
      20．解：（1）在矩形中，，，
      ．……………………1分
      　　　　，．
      　　　　，即，
		
      

      

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