題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。
第二問中,利用存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即,即.
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
設(shè),則.
設(shè),則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">,有.
故在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在,使得.
當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有.
從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.
又[來源:]
所以當(dāng)時(shí),恒有;當(dāng)時(shí),恒有;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
已知函數(shù),過點(diǎn)P(1,0)作曲線y=f(x)的兩條切線PM、PN,切點(diǎn)分別為M、N.
(1)當(dāng)t=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)|MN|=g(t),試求函數(shù)g(t)的表達(dá)式
(3)在(2)的條件下,若對(duì)任意的正整數(shù)n,在區(qū)間[]內(nèi)總存在m+1個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,…,am,am+1,使得不等式g(a1)+g(a2)+…+g(am)<g(am+1)成立,求m的最大值.
設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),,若數(shù)列滿足,,其中為正常數(shù),且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),恒成立?若存在,求出使結(jié)論成立的的取值范圍和相應(yīng)的的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若,設(shè)數(shù)列對(duì)任意的,都有成立,問數(shù)列是不是等比數(shù)列?若是,請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式;若不是,請(qǐng)說明理由.
(Ⅰ)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),數(shù)列不是等比數(shù)列;
(Ⅱ)證明:當(dāng)
(Ⅲ)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有
若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
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