解 當(dāng)為奇數(shù)時(shí).存在合乎要求的染法,當(dāng)為偶數(shù)時(shí).不存在所述的染法. 每3個(gè)頂點(diǎn)形成一個(gè)三角形.三角形的個(gè)數(shù)為個(gè).而顏色的三三搭配也剛好有種.所以本題相當(dāng)于要求不同的三角形對(duì)應(yīng)于不同的顏色組合.即形成一一對(duì)應(yīng). 我們將多邊形的邊與對(duì)角線都稱為線段.對(duì)于每一種顏色.其余的顏色形成種搭配.所以每種顏色的線段都應(yīng)出現(xiàn)在個(gè)三角形中.這表明在合乎要求的染法中.各種顏色的線段條數(shù)相等.所以每種顏色的線段都應(yīng)當(dāng)有條. 當(dāng)為偶數(shù)時(shí).不是整數(shù).所以不可能存在合乎條件的染法.下設(shè)為奇數(shù).我們來給出一種染法.并證明它滿足題中條件.自某個(gè)頂點(diǎn)開始.按順時(shí)針方向?qū)⑼惯呅蔚母鱾(gè)頂點(diǎn)依次記為.對(duì)于.按理解頂點(diǎn).再將種顏色分別記為顏色. 將邊染為顏色.其中.再對(duì)每個(gè).都將線段染為顏色.其中.于是每種顏色的線段都剛好有條.注意.在我們的染色方法之下.線段與同色.當(dāng)且僅當(dāng) . ① 因此.對(duì)任何.任何.線段都不與同色.換言之.如果 . ② 則線段都不與同色. 任取兩個(gè)三角形和.如果它們之間至多只有一條邊同色.當(dāng)然它們不對(duì)應(yīng)相同的顏色組合.如果它們之間有兩條邊分別同色.我們來證明第3條邊必不同顏色.為確定起見.不妨設(shè)與同色. 情形1:如果與也同色.則由①知 . . 將二式相減.得.故由②知不與同色. 情形2:如果與也同色.則亦由①知 . . 將二式相減.亦得.亦由②知與不同色.總之.與對(duì)應(yīng)不同的顏色組合. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知是公差為d的等差數(shù)列,是公比為q的等比數(shù)列

(Ⅰ)若 ,是否存在,有?請(qǐng)說明理由;

(Ⅱ)若(a、q為常數(shù),且aq0)對(duì)任意m存在k,有,試求a、q滿足的充要條件;

(Ⅲ)若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和式數(shù)列中的一項(xiàng),請(qǐng)證明.

【解析】第一問中,由,整理后,可得、,為整數(shù)不存在,使等式成立。

(2)中當(dāng)時(shí),則

,其中是大于等于的整數(shù)

反之當(dāng)時(shí),其中是大于等于的整數(shù),則,

顯然,其中

、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)

(3)中設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式不成立。由式得,整理

當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng),為奇數(shù)時(shí),

結(jié)合二項(xiàng)式定理得到結(jié)論。

解(1)由,整理后,可得、為整數(shù)不存在、,使等式成立。

(2)當(dāng)時(shí),則,其中是大于等于的整數(shù)反之當(dāng)時(shí),其中是大于等于的整數(shù),則,

顯然,其中

、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)

(3)設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式不成立。由式得,整理

當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng),為奇數(shù)時(shí),

   由,得

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),此時(shí),一定有使上式一定成立。當(dāng)為奇數(shù)時(shí),命題都成立

 

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已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,公差為d,為其前n項(xiàng)和,且滿足,.?dāng)?shù)列滿足,,為數(shù)列的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和

(2)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】第一問利用在中,令n=1,n=2,

   即      

解得,, [

時(shí),滿足,

第二問,①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.   

 ,等號(hào)在n=2時(shí)取得.

此時(shí) 需滿足.  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.     

 是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.

此時(shí) 需滿足

第三問,

     若成等比數(shù)列,則,

即.

,可得,即,

        .

(1)(法一)在中,令n=1,n=2,

   即      

解得,, [

時(shí),滿足

,

(2)①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.   

 ,等號(hào)在n=2時(shí)取得.

此時(shí) 需滿足.  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.     

 是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.

此時(shí) 需滿足

綜合①、②可得的取值范圍是

(3),

     若成等比數(shù)列,則,

即.

,可得,即,

,且m>1,所以m=2,此時(shí)n=12.

因此,當(dāng)且僅當(dāng)m=2, n=12時(shí),數(shù)列中的成等比數(shù)列

 

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