題目列表(包括答案和解析)
已知
是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，
是等比數(shù)列，且
，
.
（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；
（Ⅱ）記
，
，證明
（）.
【解析】（1）設等差數(shù)列
的公差為d，等比數(shù)列
的公比為q.
由
，得
，
，
.
由條件，得方程組
，解得
所以
，
，
.
（2）證明：（方法一）
由（1）得
①
②
由②-①得
而
故
，
（方法二：數(shù)學歸納法）
① 當n=1時，
，
，故等式成立.
② 假設當n=k時等式成立，即
，則當n=k+1時，有：
即
，因此n=k+1時等式也成立
由①和②，可知對任意，成立.
已知數(shù)列
是首項為
的等比數(shù)列，且滿足
.
（1） 求常數(shù)
的值和數(shù)列的通項公式；
（2） 若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第
項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列
，試寫出數(shù)列的通項公式；
（3） 在（2）的條件下，設數(shù)列的前
項和為
.是否存在正整數(shù)，使得
？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由.
【解析】第一問中解：由
得
，，
又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列
為等比數(shù)列，
則
即
，所以p=1
故數(shù)列為首項是2，公比為2的等比數(shù)列，即
.
此時
也滿足，則所求常數(shù)的值為1且
第二問中，解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：
（i）當
時，
；
（ii） 當
時，
，
所以
第三問假設存在正整數(shù)n滿足條件，則
，
則（i）當時，
，
已知數(shù)列
是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，
為其前n項和，且滿足
,
．數(shù)列
滿足
,，
為數(shù)列的前n項和．
（1）求數(shù)列的通項公式
和數(shù)列的前n項和；
（2）若對任意的，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)
，使得
成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．
【解析】第一問利用在
中，令n=1，n=2，
得
即
解得
，，
[
又時，
滿足，
，
第二問，①當n為偶數(shù)時，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．
，等號在n=2時取得．
此時
需滿足
．
②當n為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．
此時 需滿足
．
第三問
，
若
成等比數(shù)列，則
，
即． 
由，可得
，即
，
． 
（1）（法一）在中，令n=1，n=2，
得 即
解得，， [
又時，滿足，
，
．
（2）①當n為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
，等號在n=2時取得．
此時 需滿足．
②當n為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．
此時 需滿足．
綜合①、②可得的取值范圍是．
（3），
若成等比數(shù)列，則，
即．
由，可得，即，
．
又
，且m>1，所以m=2，此時n=12．
因此，當且僅當m=2，
n=12時，數(shù)列
中的成等比數(shù)列
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