Question

用l、2、3、4、5各一個(gè)可以組成120個(gè)五位數(shù)，你能否從這120個(gè)數(shù)里面找出11個(gè)數(shù)來，使得它們除以11的余數(shù)互不相同？如果五個(gè)數(shù)字是1、3、4、6、8呢？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字問題

專題：整除性問題

分析：我們看能被11整除的數(shù)的特征：把一個(gè)數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，如果這個(gè)差是11的倍數(shù)（包括0），那么，原來這個(gè)數(shù)就一定能被11整除．這個(gè)差是幾，那么余數(shù)就是幾．

解答： 解：設(shè)一個(gè)五位數(shù)是

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abcde

，奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字用A、B來表示，另A＞B，有

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abcde

≡A-B≡k（mod11），其中0≤K≤10．
（1）用1、2、3、4、5組成的一個(gè)

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abcde

，數(shù)字和為A+B=15，因?yàn)锳+B與A-B奇偶數(shù)相同，那么用1、2、3、4、5不能 組成余數(shù)為0的數(shù)，所以不能找到使得他們除以11的余數(shù)互不相同．
（2）用1、3、4、6、8組成一個(gè)

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abcde

，數(shù)字和為A+B=22，因?yàn)锳+B與A-B奇偶相同，那么A-B一定為偶數(shù)，那些奇數(shù)的余數(shù)只能出現(xiàn)在A-B＞11時(shí)，當(dāng)K=9，那么A-B=20不可能出現(xiàn)，所以不能找到使得它們除以11的余數(shù)互不相同．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)余數(shù)的性質(zhì)，除數(shù)是11，余數(shù)只有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10種余數(shù)，不可能在這120個(gè)數(shù)中找到11個(gè)余數(shù)不相同的數(shù)．