Question

3．定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，向量$\overrightarrow{ON}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]=．若不等式|MN|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上滿足“k范圍線性近似”，其中最小的正實(shí)數(shù)k稱為該函數(shù)的線性近似閥值．則定義在[1，2]上的函數(shù)y=sin$\frac{πx}{3}$與y=x-$\frac{1}{x}$的線性近似閥值分別是（　　）

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$
• B． 1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• C． 1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$
• D． 2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 對(duì)于函數(shù)y=sin$\frac{π}{3}$x，AB方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由三角函數(shù)圖象與性質(zhì)求出線性近似閥值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；對(duì)于函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$，直線AB方程為y=$\frac{3}{2}$（x-1），從而|MN|=|=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$（x-1）=$\frac{3}{2}$-（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：對(duì)于函數(shù)y=sin$\frac{π}{3}$x，A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），AB方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可知|MN|≤1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
線性近似閥值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
對(duì)于函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$，得A（1，0），B（2，$\frac{3}{2}$），
∴直線AB方程為y=$\frac{3}{2}$（x-1），
∴|MN|=|=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$（x-1）=$\frac{3}{2}$-（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，
線性近似閥值為$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的函數(shù)的線性近似閥值的交集，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．