Question

有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有一個編號，依次是1至15號．1號同學(xué)寫了一個五位數(shù)，2號同學(xué)說：“這個數(shù)能被2整除”，3號同學(xué)說：“這個數(shù)能被3整除”，4號同學(xué)說：“這個數(shù)能被4整除”……15號同學(xué)說：“這個數(shù)能被15整除．”1號同學(xué)一一驗算了，只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)說得不對，其他同學(xué)都說得對．問：

(1)說得不對的兩位同學(xué)的編號各是多少？

(2)這個五位數(shù)最小是多少？

Answer 1

答案：
解析：

一個數(shù)能夠被2、3整除，而(2、3)＝1，所以必能被6整除．同理，一個數(shù)能被3、5整除，必能被15整除，一個數(shù)能被3、4整除，必能被12整除……不斷擴大能整除這個五位數(shù)的15以內(nèi)(包括15)的自然數(shù)，從而引申出那兩個連續(xù)自然數(shù)肯定不能整除這個數(shù)，這兩個連續(xù)自然數(shù)的編號對應(yīng)的兩位同學(xué)說得不對．(1)根據(jù)題意，這個數(shù)一定能被2～7整除，否則這個數(shù)也不能被2～7的2倍數(shù)整除．由于這個數(shù)能被2和5整除，由(2、5)＝1知這個數(shù)必能被10整除．同理，這個數(shù)也能被12，14，15整除．雖然，11、13不能直接確定能否整除這個數(shù)，但由“只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)說得不對，其他同學(xué)都說得對”可知，這個數(shù)也能被11、13整除．剩下的不能被整除的兩個連續(xù)自然數(shù)只有8和9，故說得不對的兩位同學(xué)的編號各是8、9．(2)2，3，4，5，6，7，10，11．12，13，14，15的最小公倍數(shù)等于5×7×11×12×13＝60 060，故這個五位數(shù)最小是60 060