Question

8．兩個自然數(shù)的和是111，要使這兩個數(shù)的最大公因數(shù)盡可能大，這兩個數(shù)應(yīng)該取多少？要使這兩個數(shù)的最大公因數(shù)盡可能小，這兩個數(shù)應(yīng)該取多少？

Answer 1

分析 由題中2個自然數(shù)，它們的和是111，如果要求這2個數(shù)的公約數(shù)盡可能大，那么2個自然數(shù)的公約數(shù)也一定是111的約數(shù)，這樣，討論2個數(shù)的最大公約數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化為討論111的約數(shù)問題．在此基礎(chǔ)上來確定這2個數(shù)，使它們的和為111且最大公約數(shù)為最大和最�。�

解答 解：（1）因?yàn)?11=3×37，其約數(shù)有1，3，37，111．顯然111不符合要求，
再考慮約數(shù)37，由于111=37×3=37×（1+2）=37+37×2．
如果取37，37×2=74這2個數(shù)，就滿足題目的要求使這兩個數(shù)的最大公因數(shù)盡可能大其和為111且他們的最大公約數(shù)為37．
 （2）同理，因?yàn)?11=3×37=1×111，其約數(shù)有1，3，37，111．顯然111不符合要求，
考慮約數(shù)1，由于111=1×111=1+110，
如果取1，110這2個數(shù)，就滿足題目的要求使這兩個數(shù)的最大公因數(shù)盡可能小且其和為111且他們的最大公因數(shù)為1．
答：要使這兩個數(shù)的最大公因數(shù)盡可能大，這兩個數(shù)應(yīng)該取37和74，要使這兩個數(shù)的最大公因數(shù)盡可能小，這兩個數(shù)應(yīng)該取1和110．

點(diǎn)評 此題主要考查約數(shù)定理的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是明確要使這2個數(shù)的公約數(shù)盡可能大（小），那么2個自然數(shù)的公約數(shù)也一定是111的約數(shù)．