Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x²+bx+c過A，B．C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），拋物線的對稱軸為直線x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點(diǎn)P在拋物線上，且在直線AC下方，過動點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，求線段PD的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）是否存在點(diǎn)D，使得四邊形PDOC為平行四邊形？若存在，求D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的對稱性可求得B（-1，0），將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）先求得直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)P（x，x²-2x-3）則D（x，x-3），然后得到PD的長與x的函數(shù)關(guān)系式，從而可求得PD的最大值以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)OC為平行四邊形的邊時(shí)，則OC∥PD且OC=PD，以得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；當(dāng)OC為對角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴B（-1，0）．
將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）如圖所示：

當(dāng)x=0，y=-3，則C（0，-3）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx-3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：3k-3=0，解得：k=1，
∴直線AC的解析式為y=x-3．
設(shè)點(diǎn)P（x，x²-2x-3）則D（x，x-3）．
∴PD=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，PD的最大值為$\frac{9}{4}$．
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．
（3）當(dāng)OC為平行四邊形的邊時(shí)，則OC∥PD且OC=PD．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{27}{4}$）．
當(dāng)OC為對角線時(shí)，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\frac{x+\frac{3}{2}}{2}$=0，$\frac{y-\frac{15}{4}}{2}$=$\frac{0-3}{2}$．
解得：x=-$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3}{4}$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{27}{4}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，列出PD的長與x的函數(shù)關(guān)系是解答問題（2）的關(guān)鍵；分類討論是解答問題（3）的關(guān)鍵．