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1.在?ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,BC=8,將?ABCD繞AD邊上任意一點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)P不與A、D重合),得到?A′B′C′D′,且點(diǎn)C′落在CD(或其延長(zhǎng)線上),如圖所示.
(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí),求PD的長(zhǎng).
(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為n(0°<n<120°)時(shí),PD=23tan30°+12n+2(用含n的式子表示).

分析 (1)如圖1中,連接PC、PC′作PN⊥CD于N,CM⊥AD于M,首先證明∠CPM=45°推出CM=PM,求出PM,DM即可解決問題.
(2)分兩種情形①如圖1中,當(dāng)C′在CD上時(shí),②如圖2中,當(dāng)點(diǎn)C′在線段CD的延長(zhǎng)線時(shí),連接PC、PC′作PN⊥CD于N,CM⊥AD于M,分別在RT△PCM,RT△CMD中解三角形即可解決問題.

解答 解:(1)如圖1中,連接PC、PC′作PN⊥CD于N,CM⊥AD于M,
∵PC=PC′,∠CPC′=30°,
∴∠PC′C=∠PCC′=75°,
∵∠PC′C=∠PDC+∠DPC′,∠B=∠D=60°,
∴∠DPC′=15°,
∴∠CPM=45°,
∵∠CMP=90°,
∴∠CPM=∠PCM=45°,
∴PM=CM,
在RT△CMD中,∵∠CMD=90°,CD=4,∠D=60°,
∴DM=12CD=2,CM=PM=23,
∴PD=2+23
(2)①如圖1中,當(dāng)C′在CD上時(shí),由(1)可知,∠CPC′=n,則∠PC′C=90°-12n,
∠DPC′=90°-12n-60°=30°-12n,∠CPM=30°-12n+n=30°+12n,
∴PD=PM+DM=23tan30°+12n+2.
②如圖2中,當(dāng)點(diǎn)C′在線段CD的延長(zhǎng)線時(shí),連接PC、PC′作PN⊥CD于N,CM⊥AD于M,
同理可得∠CPM=30°+12n,
∵0<n<120°,
∴∠CPM<90°,
PD=PM+DM=23tan30°+12n+2,
綜上所述PD=23tan30°+12n+2.
故答案為23tan30°+12n+2.

點(diǎn)評(píng) 不通考查旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的性質(zhì),直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題,屬于中考常考題型.

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