Question

如圖，OE平分∠AOB，EC⊥OA于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D．求證：OE垂直平分CD．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：由于OE平分∠AOB，EC⊥OA于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線性質(zhì)得EC=ED，則可根據(jù)“HL”判斷Rt△ECO≌Rt△EDO，得到OC=OD，根據(jù)線段垂直平分線的判定，得到點(diǎn)O在線段CD的垂直平分線上，點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上，因此可得OE為CD的垂直平分線．

解答：證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D，
∴EC=ED，
在Rt△ECO和Rt△EDO中

EC=ED EO=EO

，
∴Rt△ECO≌Rt△EDO，
∴OC=OD，
∴點(diǎn)O在線段CD的垂直平分線上，
而EC=ED，
∴點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上，
∴OE為CD的垂直平分線，
即OE垂直平分CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)．