Question

【題目】操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形上，并使它的直角頂點在對角線上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點，另一邊與射線相交于點．

探究：設，兩點間的距離為．

（1）點在邊上時，線段與線段之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論（如圖1）；

（2）點在邊上時設四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍（如圖2）；

（3）點在線段上滑動時，是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使成為等腰三角形的點的位置，并直接寫出相應的的值；如果不可能，試說明理由（如圖3）．（圖4、圖5、圖6的形狀、大小相同，圖4供操作、實驗用，圖5和圖6備用）．

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）（）；（3）可能成為等腰三角形，Q與點D重合時，x=0；Q在邊DC的延長線上時，x=1

【解析】

（1）過點P作，分別交AB于點M，交CD于點N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，和都是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和等量代換證明，從而可證；

（2）設，然后分別表示出BM,CQ,PN的長度，然后利用和求出各自的面積 ，最后利用即可求解；

（3）分三種情況：點Q與點D重合；當點Q在邊DC的延長線上；Q與點C重合，分別進行討論即可得出答案．

（1），理由如下：

過點P作，分別交AB于點M，交CD于點N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴．

,

，

，

∴和都是等腰直角三角形，

∴．

，

．

又∵，

．

，

，

；

（2）由（1）知，則，

∵，

，

，

，

，

∴，

即（）；

（3）可能成為等腰三角形，理由如下：

①當點P與點A重合，點Q與點D重合，這時，是等腰三角形，此時；

②當點Q在邊DC的延長線上，且時，是等腰三角形，如圖，

此時，

，

當時，解得；

③，Q與點C重合，, 不存在；

綜上所述，當或時，為等腰三角形．