Question

【題目】如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）求證：OE＝OF；

（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)而由“等角對(duì)等邊”證明即可；

（2）根據(jù)已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，即可得出CO的長(zhǎng)；

（3）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定即可得出.

（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，

∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴EO＝CO，FO＝CO，

∴OE＝OF；

（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，

∵CE＝8，CF＝6，

∴EF＝＝10，

∴OC＝EF＝5；

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO＝CO，

∵EO＝FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF＝90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．