Question

如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為           時(shí)，四邊形PQAC是平行四邊形;當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為                 時(shí)，四邊形PQAC是等腰梯形. (利用備用圖畫圖，直接寫出結(jié)果，不寫求解過(guò)程)．
（3）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

Answer 1

（1），（1，4）；（2）（2，3）；（）；（3）四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.

試題分析：（1）將拋物線的解析式設(shè)為交點(diǎn)式，可用待定系數(shù)法較簡(jiǎn)捷地求得拋物線的解析式，將其化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
（2）①如圖1，四邊形PQAC是平行四邊形時(shí)，
∵CP∥x軸，點(diǎn)P在拋物線上，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=1對(duì)稱.
∵C(0，3)，∴P（2，3）.
②如圖2，四邊形PQAC是等腰梯形時(shí)，設(shè)P（m，），
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則H（m，0）.
易得△ACO∽△QNP，∴.
∵OA=1，OC=3，HP=，∴，即.
∴AQ=AO+OH－QH=�！�.
又由勾股定理得，.
由四邊形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ²=CP²，
∴，整理得，解得或.
當(dāng)時(shí)，由①知CP∥AQ，四邊形PQAC是平行四邊形，不符合條件，舍去.
當(dāng)時(shí)，CP與AQ不平行，符合條件。∴P（）.

（3）求出直線BD的解析式，設(shè)定點(diǎn)P的坐標(biāo)，由列式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理，即可求得四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析：（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為.
又∵拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0) 與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，
∴，解得.
∴拋物線的解析式為，即.
又∵，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）.
（2）（2，3）；（）.
（3）設(shè)直線BD的解析式為，
由B（3，0），D（1，4）得，解得.
∴直線BD的解析式為.
∵點(diǎn)P在直線PD上，∴設(shè)P（p，）.
則OA=1，OC=3，OM= p，PM=.
∴ .
∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.