Question

【題目】如圖，若拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），我們定義：這樣的兩條拋物，互為“友好”拋物線，可見(jiàn)一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條．

如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，試求出點(diǎn)關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

請(qǐng)求出以點(diǎn)為頂點(diǎn)的的友好拋物線的解析式，并指出與中同時(shí)隨增大而增大的自變量的取值范圍；

若拋物的任意一條友好拋物線的解析式為，請(qǐng)寫(xiě)出與的關(guān)系式，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）設(shè)x=0，求出y的值，即可得到C的坐標(biāo)，把拋物線L3：y=2x2﹣8x+4配方即可得到拋物線的對(duì)稱軸，由此可求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）由（1）可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），再由條件以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進(jìn)而可求出L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）根據(jù)拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上，可以列出兩個(gè)方程，相加可得（a1+a2）（h﹣m）2=0．可得a1+a2=0．

（1）∵拋物線L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴頂點(diǎn)為（2，－4），對(duì)稱軸為x=2，設(shè)x=0，則y=4，∴C（0，4），∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（4，4）；

（2）∵以點(diǎn)D（4，4）為頂點(diǎn)的L3的友好拋物線L4還過(guò)點(diǎn)（2，﹣4），∴L4的解析式為y=﹣2（x﹣4）2+4，由圖象可知，當(dāng)2≤x≤4時(shí)，拋物線L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大；

（3）a1與a2的關(guān)系式為a1+a2=0．

理由如下：

∵拋物線y=a1 （x﹣m）2+n的一條“友好”拋物線的解析式為y=a2 （x﹣h）2+k，∴y=a2 （x﹣h）2+k過(guò)點(diǎn)（m，n），且y=a1 （x﹣m）2+n過(guò)點(diǎn)（h，k），即

k=a1 （h﹣m）2+n…①

n=a2 （m﹣h）2+k…②

由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0．

又“友好”拋物線的頂點(diǎn)不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0．