10.如圖,對(duì)稱軸為直線x=-1的拋物線y=a(x-h)2-4(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0)
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P在拋物線上,且S△POC=4S△BOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D,求線段QD長(zhǎng)度的最大值.

分析 (1)由對(duì)稱軸確定h的值,代入點(diǎn)A坐標(biāo)即可求解;
(2)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)并表示△POC的面積根據(jù)題意列出方程求解即可;
(3)設(shè)出點(diǎn)Q,D坐標(biāo)并表示線段QD的長(zhǎng)度,建立二次函數(shù),運(yùn)用二次函數(shù)的最值求解即可.

解答 解:(1)由題意對(duì)稱軸為直線x=-1,可設(shè)拋物線解析式:y=a(x+1)2-4,把點(diǎn)A(-3,0)代入可得,a=1,
∴y=(x+1)2-4=x2+2x-3,
(2)如圖1,

y=x2+2x-3,當(dāng)x=0時(shí),y=-3,
所以點(diǎn)C(0,-3),OC=3,
令y=0,解得:x=-3,或x=1,
∴點(diǎn)B(1,0),OB=1,
設(shè)點(diǎn)P(m,m2+2m-3),
此時(shí)S△POC=$\frac{1}{2}$×OC×|m|=$\frac{3}{2}$|m|,
S△BOC=$\frac{1}{2}×OB×OC$=$\frac{3}{2}$,
由S△POC=4S△BOC得$\frac{3}{2}$|m|=6,
解得:m=4或m=-4,
m2+2m-3=21,或m2+2m-3=5,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(4,21),或(-4,5);
(3)如圖2,

設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,
把A(-3,0),C(0,-3)代入得:$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$,
所以直線AC:y=-x-3,
設(shè)點(diǎn)Q(n,-n-3),點(diǎn)D(n,n2+2n-3)
所以:DQ=-n-3-(n2+2n-3)=-n2-3n=-(n+$\frac{3}{2}$)2+$\frac{9}{4}$,
所以當(dāng)n=-$\frac{3}{2}$時(shí),DQ有最大值$\frac{9}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題,會(huì)求函數(shù)解析式,會(huì)根據(jù)面積相等建立方程并準(zhǔn)確求解,知道運(yùn)用二次函數(shù)可以解決線段最值問(wèn)題,是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.觀察下面兩組式子:
因?yàn)?÷3=$\frac{4}{3}$>1,所以4>3;
因?yàn)?2÷43=$\frac{{9}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{81}{64}$>1,所以92>43
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)若a>0,b>0,且$\frac{a}$>1,在a>b;
(2)已知P=$\frac{9{9}^{9}}{{9}^{99}}$,Q=$\frac{1{1}^{9}}{{9}^{90}}$,試比較P、Q的大。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

1.如圖1,將拋物線y=$\frac{1}{4}{x^2}$的頂點(diǎn)C向右平移m個(gè)單位,交y軸于點(diǎn)B,且tan∠BCO=$\frac{1}{2}$.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)圖2,當(dāng)⊙A的圓心A在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)圓A始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,MN為⊙A在x軸上截得的弦(點(diǎn)M在N左側(cè)),設(shè)MN2=y,A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x(x>0),試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(不要求寫出自變量的取值范圍)
(3)在(2)的條件下,拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形,并直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D在邊AB上,連接CD,過(guò)點(diǎn)A,C分別作AB,CD的垂線,兩垂線交于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求證:△CDE是等腰直角三角形;
(2)若AD=2,BD=3,求DE的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,∠ABC=2∠C,E是AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:BD=BF;
(2)若BD=3,BC=20,求AB的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.解方程
(1)x2+4x-2=0;
(2)3(x-2)2=x(x-2)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE是中線,CG平分∠ACB交BE于點(diǎn)G,F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn),且∠ACF=∠CBG.
(1)求證:CF=BG;
(2)延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H,判斷點(diǎn)G是否在線段AB的垂直平分線上?并說(shuō)明理由.
(3)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,請(qǐng)證明:CF=2DE.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

19.設(shè)0<k<3,關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+3(1-x),當(dāng)1≤x≤2時(shí)的最大值是( 。
A.2k-3B.k+1C.kD.3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.先化簡(jiǎn),再求值:4(x2+$\frac{1}{2}$x)-(2x2-3x),其中x=-2.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案