Question

5．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠ABC=2∠C，E是AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BD=3，BC=20，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的性質，得到DE=$\frac{1}{2}$AC=CE，利用等邊對等角得到∠EDC=∠C，再證明∠F=∠BDF，利用等角對等邊即可得到BD=BF．
（2）作EM∥BC交AB于M，易知ME=MF=$\frac{1}{2}$BC=10即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AD⊥BC，
∴△ACD是直角三角形，
∵E是AC的中點，即DE為△ACD斜邊中線，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=CE，
∴∠EDC=∠C，
∵∠BDF=∠EDC=∠C，
∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=2∠BDF，
∵∠ABC=∠F+∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
∴BD=BF．
（2）解：作EM∥CB交AB于M，
∵AE=EC，EM∥CB，
∴AM=BM，ME=$\frac{1}{2}$BC=10，
∵BD=BF=3，
∴∠F=∠BDF=∠MEF，
∴MF=ME=10，
∴BM=FM-BF=10-3=7，
∴AB=2BM=14．

點評 本題考查直角三角形斜邊中線定理、等腰三角形的判定和性質、三角形中位線定理等知識，出現(xiàn)中點加平行線是常用的輔助線．