Question

【題目】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變：①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系．②若連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，

∵BD=BC﹣CD，

∴CF=BC﹣CD；

（2）

與（1）同理可得BD=CF，

所以，CF=BC+CD

（3）

①與（1）同理可得，BD=CF，

所以，CF=CD﹣BC；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

則∠ABD=180°﹣45°=135°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，

∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠FCD=∠ACF﹣∠ACB=90°，

則△FCD為直角三角形，

∵正方形ADEF中，O為DF中點，

∴OC= DF，

∵在正方形ADEF中，OA= AE，AE=DF，

∴OC=OA，

∴△AOC是等腰三角形

【解析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，從而得證；②根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD=CF，從而求出CF=BC﹣CD；（2）與（1）同理可得BD=CF，然后結(jié)合圖形可得CF=BC+CD；（3）①與（1）同理可得BD=CF，然后結(jié)合圖形可得CF=CD﹣BC；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)鄰補角的定義求出∠ABD=135°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC= DF，再根據(jù)正方形的對角線相等求出OC=OA，從而得到△AOC是等腰三角形．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的判定和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．