Question

16．如圖，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF交于G，將△ABE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，將得到△AHM，AM和BF相交于點(diǎn)N．當(dāng)正方形ABCD的面積為4時，則四邊形GHMN的面積為$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 先運(yùn)用SAS定理得出Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°，故可得出AE⊥BF，求出正方形的邊長，再根據(jù)面積比等于相似邊長比的平方，求得S_△AGN=$\frac{4}{5}$，再利用S_{四邊形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN求解．

解答 解：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AB=BC\\∠ABE=∠BCF\\ BE=CF\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．
∵正方形ABCD的面積為4，
∴其邊長為2．
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴△AGN∽△AHM，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}$=（$\frac{AN}{AM}$）²，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{1}$=（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²，
∴S_△AGN=$\frac{4}{5}$，
∴S_{四邊形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴四邊形GHMN的面積是$\frac{1}{5}$．
故答案為：$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及到正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟知旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．