Question

（2012•肇慶）已知二次函數(shù)y=mx²+nx+p圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，與y軸交于點C，O為坐標原點，tan∠CAO-tan∠CBO=1．
（1）求證：n+4m=0；
（2）求m、n的值；
（3）當p＞0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，求二次函數(shù)的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知拋物線的對稱軸為x=2，利用對稱軸公式x=-

b

2a

，易證n+4m=0；
（2）本問利用三角函數(shù)定義和拋物線與x軸交點坐標性質(zhì)求解．特別需要注意的是拋物線的開口方向未定，所以所求m、n的值將有兩組，不能遺漏；
（3）本問利用一元二次方程的判別式等于0求解．當p＞0時，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與直線的解析式聯(lián)立，得到一個一元二次方程；由交點唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0，據(jù)此求出p的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值．

解答：（1）證明：∵二次函數(shù)y=mx²+nx+p圖象的頂點橫坐標是2，
∴拋物線的對稱軸為x=2，
即-

n

2m

=2，
化簡得：n+4m=0．

（2）解：∵二次函數(shù)y=mx²+nx+p與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，
∴OA=-x₁，OB=x₂；x₁+x₂=-

n

m

，x₁•x₂=

p

m

；
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．
由三角函數(shù)定義得：tan∠CAO=

OC

OA

=

|p|

-x1

=-

|p|

x1

，tan∠CBO=

OC

OB

=

|p|

x2

．
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即-

|p|

x1

-

|p|

x2

=1，
化簡得：

x1+x2

x1x2

=-

1

|P|

，
將x₁+x₂=-

n

m

，x₁•x₂=

p

m

代入得：

- n m

p m

=-

1

|P|

，
化簡得：n=

p

|p|

=±1．
由（1）知n+4m=0，
∴當n=1時，m=-

1

4

；當n=-1時，m=

1

4

．
∴m、n的值為：m=

1

4

，n=-1（此時拋物線開口向上）或m=-

1

4

，n=1（此時拋物線開口向下）．

（3）解：由（2）知，當p＞0時，n=1，m=-

1

4

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

4

x²+x+p．
聯(lián)立拋物線y=-

1

4

x²+x+p與直線y=x+3解析式得到：-

1

4

x²+x+p=x+3，
化簡得：x²-4（p-3）=0 ①．
∵二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點，
∴一元二次方程①的判別式等于0，即△=0²+16（p-3）=0，解得p=3．
∴拋物線解析式為：y=-

1

4

x²+x+p=y=-

1

4

x²+x+3=-

1

4

（x-2）²+4，
當x=2時，二次函數(shù)有最大值，最大值為4．
∴當p＞0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，二次函數(shù)的最大值為4．

點評：本題要求同學們熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，包括拋物線的解析式、對稱軸公式、拋物線與x軸的交點、拋物線與一元二次方程的關系、二次函數(shù)的最值等重要知識點．作為中考壓軸題，本題難度適中，相信多數(shù)同學能夠順利解決；難點在于由于題中未明確拋物線的開口方向，導致部分同學感覺難以下手，或者盲目求解，只得到m、n的一組解（第2問），從而導致失分．