Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（0，4）和B（-2，0），連結(jié)AB．現(xiàn)將△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AO₁B₁，

（1）直接寫出點(diǎn)B₁、O₁的坐標(biāo)，并求經(jīng)過B、A、O₁三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在上述拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在上述拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q使△ABQ為等腰三角形？若存在求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OAO₁=90°，∠AO₁B₁=∠AOB=90°，AO₁=AO=4，O₁B₁=OB=2，則根據(jù)第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得O₁（4，4），B₁（4，2），然后利用待定系數(shù)法求過B、A、O₁三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先通過解方程-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0），利用對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，連結(jié)AC，如圖1，AC交直線x=2于點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)PA+PB最小，則此時(shí)△ABP周長(zhǎng)最小，根據(jù)待定系數(shù)求直線AC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+4，然后計(jì)算x=2時(shí)的函數(shù)即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{8}{3}$）；
（3）如圖2，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，t），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到則AB²=20，AQ²=4+（4-t）²，BQ²=16+t²，然后分類討論：當(dāng)AQ=AB時(shí)，4+（4-t）²=16；當(dāng)BQ=BA時(shí)，16+t²=20；當(dāng)QA=QB時(shí)，4+（4-t）²=16+t²，再分別解關(guān)于t的方程求出t的值，即可得到滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（0，4）和B（-2，0），
∴OA=4，OB=2，
∵△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AO₁B₁，
∴∠OAO₁=90°，∠AO₁B₁=∠AOB=90°，AO₁=AO=4，O₁B₁=OB=2，
∴O₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），B₁（4，2），
設(shè)過B、A、O₁三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
把A（0，4），B（-2，0），O₁（4，4）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴過B、A、O₁三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0，解得x₁=-2，x₂=6，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
連結(jié)AC，如圖1，AC交直線x=2于點(diǎn)P，
∵PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC=AC，
此時(shí)PA+PB最小，則此時(shí)△ABP周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（0，4），C（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{6m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-$\frac{2}{3}$x+4=$\frac{8}{3}$，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{8}{3}$）；
（3）存在．
如圖2，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，t），則AB²=2²+4²=20，AQ²=2²+（t-4）²=4+（4-t）²，BQ²=（2+2）²+t²=16+t²，
當(dāng)AQ=AB時(shí)，4+（4-t）²=16，解得t₁=0，t₂=8（此時(shí)B、A、Q共線，舍去），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)BQ=BA時(shí)，16+t²=20，解得t₁=2，t₂=-2，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），（2，-2）；
當(dāng)QA=QB時(shí)，4+（4-t）²=16+t²，解得t=$\frac{1}{2}$，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$），
綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）、（2，2）、（2，-2）、（2，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；運(yùn)用分類討論的思想和等腰三角形的判定方法解決（3）小題．