Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過A作BC的平行線交CE的延長線F，且AF=BD，連結BF．
（1）求證：BD=CD；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論；
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD為正方形？（寫出條件即可，不要求證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠ECD．

∵E是AD的中點，

∴DE=AE，

在△AEF與△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=CD；

（2）答：四邊形AFBD為矩形；

解：∵AF=BD，AF∥BD，

∴四邊形AFBD為平行四邊形，

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDA=90°，

∴四邊形AFBD為矩形；

（3）解：AB=AC，且∠BAC=90°；

∵AB=AC，且∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=45°，

∴AD=DB，

∴四邊形AFBD為正方形．

【解析】（1）證明△AEF≌△DEC可得AF=DC，再根據條件AF=BD可利用等量代換可得BD=CD；（2）首先判定四邊形AFBD為平行四邊形，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，進而可得四邊形AFBD為矩形；（3）當AB=AC，且∠BAC=90°時，四邊形AFBD為正方形，首先證明∠ABC=45°，∠BAD=45°，可得AD=BD，進而可得四邊形AFBD為正方形．
【考點精析】關于本題考查的矩形的判定方法和正方形的判定方法，需要了解有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能得出正確答案．