Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C．E在半圓O上，CD⊥AB于點D，且CD＝．

（1）如圖1．若點C是的中點，求AE的長；

（2）如圖2，若∠B＝30°，連接CE，點P為CE中點，連接DP，交AE于點F，記以C為圓心，CP為半徑的圓為⊙C．探究AE與⊙C的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE＝2；（2）AE與⊙C相切，理由見解析．

【解析】

(1)連接OC，交AE于點F，由點C是的中點，根據(jù)垂徑定理可得，得OC⊥AE，，依據(jù)AAS證明△AFO≌△CDO，即可求得AE的長；

(2)根據(jù)點P為CE中點，得CP=CE，由同弧所對圓周角相等得∠E=∠B=30°，作CG⊥AE于G，依據(jù)含有30度的直角三角形的性質(zhì)得到CG= CE，從而CP=CG，即可證明AE與⊙C相切．

解：（1）如圖1，

連接OC，交AE于點F，

點C是的中點，
，2，
，
，
，
在和中，

≌，
，
；

（2）AE與⊙C相切，理由如下：

如圖2，作CG⊥AE于G，則，

∵點P為CE中點，

，

∵,
，
又∵,

∴，

∴CG＝CP，

∴以C為圓心，CP為半徑的圓為⊙C與AE相切．

所以AE與⊙C相切．