Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，CD是AB邊上的高線，且有2CD=3AB，又E，F(xiàn)為CD的三等分點，則∠ACB與∠AEB之和為（ ）

A. 45° B. 90° C. 75° D. 135°

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)等腰三角形三線合一的特點可知：CD垂直平分AB，利用線段之間的關(guān)系，得到△DBF是等腰直角三角形；再利用勾股定理求得BF、BD的關(guān)系，可得到=，接下來結(jié)合夾角相等證明△EFB∽△BFC，聯(lián)系相似三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

設(shè)AD=x，

∵AC=BC，CD是AB邊上的高，

∴CD是AB的垂直平分線，CD平分∠ACB，ED平分∠AEB，

∴BD=AD=x，AE=BE，AF=BF，∠ACB=2∠FCB，∠AEB=2∠FEB.

∵2CD=3AB，AD=BD=x，E、F是三等分點，

∴CD=3x，DF=EF=CE=DB=x.

又∵∠CDB=90°，

∴△DBF是等腰三角形，

∴∠DBF=45°，BF=x，

∴，，

∴=.

又∵∠EFB=∠BFC，

∴△EFB∽△BFC，

∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC.

∴∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC=45°，

∴∠ACB+∠AEB=2(∠FBE+∠FEB)=90°.

故選B.